Bevis for k(n,r)

Benyt, at

k(n,r) = n! / (r! · (n-r)!)

Man har så

k(n-1,r-1) + k(n-1,r) = (n-1)!/((r-1)!·(n-r)!) + (n-1)!/(r!·(n-r-1)!)

                                   = r·((n-1)!)/(r!·(n-r)!) + (n-r)·((n-1)!)/(r!·(n-r)!)

                                   = [ r·((n-1)!) + (n-r)·((n-1)!) ] / (r! · (n-r)!)

                                   = n·((n-1)!) / (r! · (n-r)!)

                                   = n! / (r! · (n-r)!)

                                   = k(n,r)

[LINK]

Fik, beklageligvis, fejlplaceret besvarelsen i en anden tråd.

Mange, mange tak for hjælpen! :-)

Beklager jeg tager dette op igen, men er i tvivl om, hvordan du, Andersen11, kommer fra

(n-1)/(r-1)+(n-1)/r 

til

 (n-1)!/((r-1)!·(n-r)!)+(n-1)!/(r!·(n-r-1)!)

Hvornår og hvordan kommer fakulteterne ind i billedet?

Mvh. :-)

Hov, det er lidt pinligt. Havde ikke tænkt over, at (n-1)/(r-1)+(n-1)/r ikke fungerer som en egentlig brøk. Ændrer lige mit spørgsmål så: hvorfor tilføjes henholdsvis (n-r)! og (n-r-1)! i nævneren på de to led? Er ikke sikker på, jeg har styr på mine regneregler her. :-)

hp92 det skal du muligvis være ked af, men du er ikke alene jeg forstår nada!!!!

#4

Jeg ved slet ikke, hvor du mener, at udtrykket (n-1)/(r-1)+(n-1)/r overhovedet forekommer.

Man starter med udtrykket

k(n-1,r-1) + k(n-1,r)  =     og indsætter definitionen for k(n,r)

                                    = (n-1)!/((r-1)!·(n-r)!)       +      (n-1)!/(r!·(n-r-1)!)
                                                   k(n-1,r-1)                              k(n-1,r)

Den første brøk forlænges med r, og den anden brøk forlænges med (n-r) , så man får

                                    = r · (n-1)!/(r · (r-1)!·(n-r)!)         +      (n-r) · (n-1)!/((n-r) · r!·(n-r-1)!)

Så kombinerer man i nævnerne

                                    = r·(n-1)!/(r!·(n-r)!)           +            (n-r)·(n-1)!/(r!·(n-r)!)

Nu har brøkerne samme nævner, så tællerne kan umiddelbart adderes

                                    = [ r·(n-1)!   +  (n-r)·(n-1)! ] / (r!·(n-r)!)

og i tælleren sættes (n-1)! uden for parentes

                                   = [ r + n-r ]·(n-1)! / (r!·(n-r)!)

                                   = n·(n-1)! / (r!·(n-r)!)

                                   = n! / (r!·(n-r)!)

                                   = k(n,r)
 

Det hjalp rigtigt meget. Mange tak!

Hvilken regel anvender du, når du sætter (n-1)! uden for parantesen?

#9

Man sætter den fælles faktor (n-1)! uden for en parentes. En faktor a, der forekommer i flere led, kan sættes uden for parentes. Det kaldes den distributive lov:

a·b + a·c = a·(b + c)

men det er jo noget, man lærer i de små klasser.

Som sagt var jeg ikke sikker på, at jeg her havde styr på mine regneregler, hvorfor jeg netop også var forvirret. Jeg takker for svaret, trods den hånende bemærkning - håber den hjalp på dit humør. ;-) Hav en god aften.

#11 Det er den såkaldte "distrubutive regel"    a(b+c) = ab+ac   [ LINK ]

Der er ikke noget hånligt i Andersen11's bemærkning,
- det ER et faktum, at man allerede i folkeskolen lærer om denne regel....
 

HUSK på at vi er her på SP for at hjælpe hinanden, så der er INGEN grund
til at blive "pigesur", når Andersen11 påpeger et faktum, - du burde kende denne
(parentes)regel fra din tid i folkeskolen.

Glædelig Jul og et velsignet nytår til dig og dine kære.

Måden det blev skrevet på, og i kontekst, synes jeg, bemærkningen var nedladende. Jeg ved ikke med jer, men jeg husker på ingen måde alt det matematik, jeg har lært gennem tiden. Som nogle af de mere aktive brugere herinde bliver i nok også konfronteret med sådanne regler og lignende oftere end jeg.

.... Men svarede egentlig bare for at sige mange tak og i lige måde. :-)