Implisit differentiation

Hvad menes der med a i A) og B) ?. Der må mangle en del i opgaven.

Jeg har skrevet opgaven ind, ligesom det står i eksamenssættet. Jeg tænker, at a må være noget med approximation? Der står ikke andet end det jeg har skrevet ind i opgaven..

I min bog står: Den lineære approximation til f omkring a er: f(x) ~~ f(a)+f'(a)*(x-a)    (når x er nær a), så det har måske noget ved dette at gøre? 

En tilnærmelse som angivet vil give en lineær funktion af x. Det passer ikke med A) men godt med B. Til gengæld skal du finde f'(1) for at løse B) og så er det meget mærkeligt at den kommer som et ekstra spørgsmål senere.

E) Det er korrekt at du skal indsætte (1,1) i den fundne funktion og det giver som du skriver 1

Okay, E) forstår jeg nogenlunde nu. f'(1) = -1. Altså spørges der her om tangenthældningen i (1,1) er -1. E) Må så være forkert, da tangenthældningen i punktet (1,1) er 1. 

Min opfattelse er at der mangler noget grundlæggende i den opgave. De forskellige spørgsmål hænger ikke sammen

Hvordan løser jeg A) så? For kan se, at dette er det rigtige svar, men jeg kan simpelthen ikke se hvordan

Det er en multiple choice eksamen :P

Der er kun 1 rigtigt ud af dem alle.

Det havde været rart at få det at vide fra starten.

A) falder fordi det ikke er en lineær funktion

B) falder fordi f'(1) = 1

D) falder fordi f(1) = 1

E) falder fordi f'(1) = 1

Så er der kun C) tilbage. Jeg ved godt nok ikke hvad de kryptiske tegn står for

Ja det er jeg ked af sry. Det jeg prøvede at skrive i C) var elasticiteten. I min rettevejledning står der, at A) er den rigtige, men dette er måske forkert? Jeg kan heller ikke forstå hvordan dette kan passe.

Du skriver at D) er forkert, fordi f(1) = 1, er det fordi at punktet (1,1) = (1,f(1)) ? og deraf 1 = f(1) ?

#11

Hvis man differentierer den implicit definerende ligning

(3/2)x² -(3/2)y² +xy -5x +3y = -1 , får man

3x -3y·dy/dx + y + x·dy/dx -5 +3dy/dx = 0 , dvs

(-3y + x + 3)dy/dx = 5 -y - 3x , og dermed

dy/dx = (5 -3x -y) / (3 + x -3y)

I punktet (x,y) = (1,1) fås derfor dy/dx = (5-3-1) / (3+1-3) = 1 . Altså f(1) = 1 , f '(1) = 1 .

Så vidt jeg husker findes elasticiteten af

El_x(f) = dln(f)/d(lnx) = df/dx / (f(x)/x) = 1 (i punktet (1,1)) .

Forslagene B), C), D), og E) må derfor afvises.

For forslaget i A har man f(1) = 1, og f '(x) = -(2x -3) = 3-2x, og da denne har f '(1) = 1, er dette det korrekte svar.

Tak for svaret. Kan du forklare lidt mere om A)? Jeg forstår den stadig ikke hvordan man kommer frem til svaret, 

#13

Se på funktionen i A)

f(x) = -(x² -3x +1) = -x² + 3x -1 .

Man ser, at f(1) = 1, og at f '(x) = -2x +3 , hvorfor f '(1) = 1 . Denne funktion approksimerer derfor den implicit definerede funktion i en omegn af x = 1.

Ahhhhh... nu forstår jeg!  Synes bare svarene varierer så sindsygt meget, at det er svært at gennemskue mulighedernes betydning nogen gange. Tak for hjælpen og godt nytår! :)

Hmm, jeg sad lidt og kiggede i min bog og har også søgt på nettet, men synes virkelig det er svært at finde information om "implicit elasticitering"

Elx(f) = dln(f)/d(lnx) = df/dx / (f(x)/x) = 1 (i punktet (1,1)) <-- er df/dx / (f(x)/x) den generelle formel for at finde elasticitering implicit?

Jeg har et eksempel her: exp(y) + ln(x) - 3/2 = y

y = f(x) er givet implicit ved overstående i en omegn af (3/2, ln(3/2))

Jeg får f'(3/2) = -4/3.

Jeg får dermed elasticiteten til: -4/3/(ln(3/2)/(3/2)) = -2 / (ln(3/2)), men i min facitliste står der, at svaret er: 2 / (ln(3/2))

Er det fordi elasticiteten er numerisk?

#16

Det er udtrykket for elasticiteten.

#17

Af ligningen

e^y + ln(x) - 3/2 = y

finder man ved differentiation

e^y · y' + 1/x = y'

og dermed

y' = -1/(x·(e^y - 1))

I en omegn af (x,y) = (3/2 , ln(3/2)) findes så

y' = -1/((3/2)·(3/2 - 1)) = -4/3

og dermed elasticiteten

El_x(y) = y'/(y/x)) = -(4/3) / (ln(3/2)/(3/2)) = -(4/3)·(3/2)/ln(3/2) = -2/ln(3/2) = 2/ln(2/3) .

Jeg finder det samme resultat, som du finder.

Tak for det udførlige svar :) Så konklusionen er, at -2/ln(3/2) = 2/ln(2/3) - jep jep. Men er svaret på, hvorfor minusset forsvinder, at elasticitet er numerisk? :)

#19

Ifølge denne artikel http://en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_(economics) defineres elasticiteten som den numeriske værdi |∂ln(y)/∂ln(x)|. Det burde du jo selv have kunnet slå op i din bog.