taylorapproximation for potential

Okay, vidste ikke lige om jeg ville putte under fysik. 

Jeg har lavet et program, der numerisk løser Schrödinger-ligningen for et vilkårligt potential som et del af mit kursus. Jeg har først puttet Schrödinger-ligningen i dimensionsløs form, og herefter approximeret den med punkter og løst den som en egenværdi-ligning. Alt det har I sikkert også prøvet. 
Jeg startede med at kigge på den harmoniske oscillator og gik så over til et gaussisk potential:

V(x) = -V0exp(-x^2) 

Jeg har lidt et problem med en af opgaverne, som går ud på følgende:
Jeg skal plotte forskellen mellem energien i grundtilstanden og første exciterede tilstand for forskellige værdier af V0. Men jeg skal så analytisk gøre rede for det jeg ser ved at taylorekspandere det gaussiske potential. Taylorexpanderer man omkring x=0 får man til anden orden:

V(x) = -V0 + V0x^2

Så putter jeg det ind i min dimensionsløse Schrödinger ligning fås:

-½ ∂²Ψ/∂x² + (V0x^2-V0)Ψ = EΨ

Så tænkte jeg. Okay jamen vores V0 led i potentialet forskyder bare energien, ikke forskellen mellem E1 og E0, så det kan jeg bare droppe. Tilbage er vi med et potential, som er den harmoniske oscillator bare med k=2V0. Men problemet er nu bare, at jeg kun har løst dette potential for det dimensionsløse tilfælde hvor V=½x^2. Hvordan vil mit V0 influere energiniveauerne E=(½+n)? Jeg tænkte først det var trivielt men synes ved eftertanke ikke, at det er så let, hvordan det hele skalerer :(