Matrix

Benyt, at en n×n matrix A over et legeme L er diagonaliserbar, hvis og kun hvis alle dens karakteristiske rødder tilhører L, og der for hver karakteristisk rod λ gælder

rm(λ) = n - rg(A - λE).

Matricen er

A = [  0  2  0
        -1  0  0
         3  2  1 ]

 Det hele koger ned til, at ikke alle egenværdierne er reelle.

Hvad er L? Den eneste reele egenværdi for A er 1. Da rg(A - λE) = 3, så

rm(λ) = 3 - 3 = 0. 

Jeg forstår det stadig ikke.

Kan man sige, at da kun en rod er reel, som har span= [0 0 1] da kan man ikke lave en diagonalmatrix på 3x3, for der skal jo være 3 reelle rødder.

kan ikke lige se hvordan rm(λ) = n - rg(A - λE) skrives, for at være et decideret svar dog.

men det er da nemt nok at forklare at der ikke er en matrix T, hvor T.A.T^1 er en diagonalmatrix

#2

L er det tallegeme, som matricen er baseret på, det til vektorrummet V hørende legeme.

#3

Da der ønskes en diagonalisering med en matrix T med reelle elementer, kan det ikke lade sig gøre, fordi ikke alle egenværdierne i A er reelle.

Ja det er jo klart, var lidt interesseret i hvilken konklusion var bedst. Egentlig er der jo kun en reel rod, som er endimensionel, så det er klart, der ikke kan realiseres en 3dimensionel løsning. Det var hvad jeg tænkte, for så er den da ikke diagonaliserbar.

Matricen A er diagonaliserbar over de komplekse tals legeme C, men ikke over de reelle tals legeme R.

I udtrykket

rm(λ) = n - rg(A - λE)

står rm(λ) for rodmultipliciteten af λ som rod i det karakteristiske polynomium, mens rg(A - λE) betegner rangen af matricen A - λE .

Da der her er tre forskellige karakteriske rødder, er rm(λ) = 1 for hver af disse. Endvidere er n = 3, og man ser let, at rg(A - λE) = 2 for hver egenværdi. Det er altså kun kravet om, at egenværdierne skal tilhøre legemet, der vælter diagonaliserbarheden.

ja tak :)

#6

Jeg forstår ikke helt, det du siger Torben. Kan du prøve vise udtrykket?

Her står der, at TAT^-1 er en diagonalmatrix. Hvordan kan det være, når der kun een af egenværdierne er reel (rod)? 

#8

Som jeg læser opgaven i #0, skal man redegøre for, at der ikke findes en reel og regulær matrix T, så at T·A·T^-1 er en diagonalmatrix. Det mener jeg, at der er gjort fyldestgørende rede for ovenfor ved at henvise til, at egeneværdierne for A ikke alle er reelle.

Jeg har også nævnt, at hvis man slækker kravet om, at T skal være en reel matrix, så findes der en sådan matrix med komplekse koefficienter.

Jeg har et spørgsmål, som har at gøre med a-opgaven. Den dobbeltrod som er kompleks, når jeg har fundet den ene, så skal det gerne passe, at den anden vil være den samme bare komplekts konjugeret (de imaginære dele skifter fortegn). Er den antagelse korrekt? For jeg har lidt svært ved at bruge det uden at være sikker :)

Har udført den i hånden, men det er da helt dejligt at vide 

#10

Ja, det er korrekt her, idet det karakteristiske polynomium har reelle koefficienter. For matricen A finder man dens karakteristiske polynomium til

p(λ) = (λ² + 2)(1 - λ)

Der er ikke tale om en kompleks dobbeltrod, men om tre forskellige rødder, hvoraf den ene er reel, og de to andre er hinandens komplekst konjugerede.

λ = 1 ∨ λ = ±i·√2 .

Her er, hvad Wolfram giver som svar på diagonaliseringen

http://www.wolframalpha.com/input/?i=diagonalize+%7B%7B0%2C2%2C0%7D%2C%7B-1%2C0%2C0%7D%2C%7B3%2C2%2C1%7D%7D