Integralregning

1. Integralregning er en ekstremt vigtig og anvendelig matematisk disciplin, som er tæt knyttet til differentialregning.

I princippet går integralregning ud på at bestemme arealet under en given funktionskurve.

(se vedhæftede fil i næste  indlæg.

2. Jeg går ud fra, at din funktion har formen: y = ln²(x) - 1 (for x ∈R₊). At funktionen er irrationel kan let vises:

Lad x = e^√π, da fås y = π -1, hvilket er et irrationelt tal.

3. y' = 2 ln(x)/x   y' = 0 ⇔ ln(x) = 0 ⇔ x = 1. Det kan kun være dette punkt, fordi ln²(x) ≥ 0 for x ∈R₊. Mindste y-værdi må være, når ln(x) = 0, d.v.s. y = -1 er kurvens ekstremum (globalt minimum)

- se y-kurven i det vedhæftede.

Her er lidt forklarende om integralregning.

er stadig meget i tvivl om hvordan man lavede nummer 2?

f(x) = ln²(x) - 1, x ∈ R₊

Som jeg forstår spgsm. 2, så drejer det sig om at vise, at f´s værdimængde ikke kun indeholder heltal (Z) og rationale tal (Q), men også irrationale, d.v.s. tal, som har uendeligt mange decimaler. Et sådant tal er π-1. Se f.eks. artiklen:

http://da.wikipedia.org/wiki/Irrationale_tal

Fra tidligere ved du, at Vm(f) = [-1;∞[, fordi ln²(x) ≥ 0 for alle x ∈ R₊.

Lad q ∈ Vm(f) være et irrationelt tal, så gælder:

f(x) = q ⇔ ln²(x) - 1 = q ⇔ln²(x) = q + 1 ⇔ |ln(x)| = √(q+1) ⇔ ln(x) = q+1 ∨ ln(x) = -q-1

⇔x  = e^q+1 ∨ x = e^-q-1. Begge løsninger eksisterer og begge tal tilhører R₊.