Differentialligninger

Det letteste er at gøre prøve ved lægge y₁ og y₂ sammen og se, om der gælder

(y₁ + y₂) ' = a(x)·(y₁ + y₂)   og

(k·y₁) ' = a(x)·(k·y₁)

Nu siger du gøre prøve?

Vi er blevet kastet ud i det her projekt uden nogen forudgående viden eller teori om differentialligninger. Vores lærer mener vel at vi bare skal lære det hele gennem projektet? - Det synes jeg selv er en dårlig måde at tage fat i sådan et stort, svært emne på, men sådan er det åbenbart.

Kan du evt. vise mig, hvordan man gør prøve ved den øverste, så prøver jeg med den næste? :)

Begreber og løsningsmetoder bør introduceres så tidligt som muligt på niveauet. Du vil ikke få noget ud af en hjælp, når du siger, du ikke har forudgående viden eller teori om emnet. Det vil forekomme som sort snak. Jeg vil godt senere kigge på det. Læren om differentialregningens kunst er ikke som at gå til købmanden og lægge to beløb sammen for rugbrød og smør.

Skal jeg konkludere ud fra det, at du ikke kan hjælpe mig?

Jeg vil gerne senere på dagen se på # 0, men hvad får du ud af det, hvis du ikke forstår det? Jeg kan ikke lære dig om differentialligninger fra begyndelsesstadiet. Men du kan i begyndelsen se på nogle videoer. Se f.eks.

Altså, jeg ved at løsningen til en differentialligning er en funktion. Har løst helt grundlæggende opgaver fx:

y' = y·cos(x)  , gæt: f(x)=e^sin(x)

Men nu står jeg med en opgave, hvor jeg skal vise at de er løsninger til. Som du siger, at gøre prøve? Hvordan gør man prøve? Tror det er bogstavregningen, der forvirrer mig. Og hvad skal jeg fx stille op med a(x) ?

HAHA!

Tror jeg har den! :D - Den første i hvert fald :)

(y₁+y₂)' = a(x)•(y₁+y₂)

(y₁)'+(y₂)' = a(x)•(y₁+y₂)

(y₁)' = a(x)•y₁

(y₂)' = a(x)•y₂

a(x)•y₁+a(x)•y₂ = a(x)•y₁+a(x)•y₂

....? :D

Din første linje antager du bare at det er en løsning, det må du ikke.

Du skal sætte ind og reducere:

(y1+y2)' = y1'+y2' = a(x)y1 + a(x)y2

Første lighed kommer fra linearitet af differentiation af sum. Anden lighed gælder siden de er løsninger, nu samles parantesen således at:

(y1+y2)' = a(x)*(y1+y2) hvilket viser at (y1+y2) er en løsning

For k gør du

(ky1)' = k(y1)' = ?

Hvor en konstant gange en funktion differentieret er lig at gange konstanten på bagefter(populært sagt).

Såå.. Jeg har gjort det i omvendt rækkefølge??

Så er jeg altid i tvivl, hvordan jeg skal gribe del 2 an.

Var selv kommet frem til at sætte k uden for differentiationen. Men hvad skal k•(y₁) ' så sættes lig med?

altid = altså**

Er dette korrekt?

(k•y₁) ' = k • (y₁) ' = k• a(x)  • y₁

 k • (y₁) ' = k• a(x) • y₁   

  - Der står vel det samme på begge sider af lighedstegnet ?

Kan man reducere k ud af ligningen?

Eller er det alt sammen bare helt forkert?

:P

og

Heraf ses, at           (y₁ + y₂) ' = a(x)·(y₁ + y₂)           Differentiation af flerleddet størrelse

I den anden del benyttes    (k·y₁) ' = k '·y₁ + k·y₁' = k·y₁'   .  Differentiation af (konstant gange funktion).

For øvrigt hedder funktionen