determinanter og matriser

Er du bekendt med rækkeoperationer ?

En rækkeoperation består i at man til elementerne i en række adderer elementerne i en anden række, efter at disse er multipliceret med en konstant. Analogt defineres en søjleoperation.

Der gælder nu følgende sætning I:

Anvendes en rækkeoperation (søjleoperation) på en matrix, er den tilhørende determinant uforandret.

Endvidere gælder følgende sætning II:

Dersom alle elementerne i en række søjle) er nul, har determinanten værdien nul.

Disse to oplsyninger er nok til at løse opgaven.

Gør som følger

Udfør rækkeoperationen : adder række 2 ganget med -1 til række 3. Herved bliver række 3 lig række 1.

Udfør så rækkeoperationen: adder række 3 ganget med -1 til række 1 (eller omvendt). Herved bliver alle elementer i række 1 nul.

Bring nu sætning II i anvendelse.

tak fordi du altid hjælper mig ud af mine problemer....der var en der sagde at det ikke var gym. stof, og det er jeg egentlig bekendt med kan bare godt lide at lære at sættemig ind i ting jeg ikke får mulighed for at lære....

tilbage til tråden..jeg gør som du lige har fortalt mig og vender herefter tilbage med et resultat du eventuelt (hvis du får tid)kan se på...
endnu en gang tak..!

Gorilla

lærer

#2 Er SP være forbeholdt gymnasiestof? Ifølge forsiden er intentionen at hjælpe elever og studerende og det dækker jo vidt. Jeg har svaret på adskillige indlæg fra universitetsfolk, så jeg mener, du ikke skal skamme dig over at stille sådanne spørgsmål.

har virkelig forstået din grundige forklaring..TAK...
vil det så ikke sige at hvis man skal beregne determinanten af:

|0 0 2-3i 3-5i|
|0 -1+2i 0 0 |
|-5+2i 0 2+i 0 |
|-3+4i 4-3i 0 5i |

på nogenlunde sammme måde...jeg beregner den til i morgen (hvis jeg får lavet min rapport)kkunne du så ikke eventuelt ikke se om det er rigtigt...(kun hvis du har tid. jeg kan godt forstå at du har meget at lave).... TAK endnu engang...

Gorilla

p.s: jeg er skammer mig slet slet ikke over at spørge..(og slet ikke dig der hjælper SÅ godt og grundigt)..Jeg føler tvært imod at jeg kan blive kllogere på at spørge jer herinde i stedet for at jeg bare opgiver at "studereræpjm" matematik....> for din hjælp

Jo kom bare med dine udregninger. Bemærk dog at i dette tilfælde er det kan man ikke ved rækkeoperationer opnå en række bestående udelukkende af elementer lig 0.

Derfor er man nødt til at beregne determinanten. Den slaviske fremgangsmåde, hvor man benytter definitionen på determinanten, er oftest møjsommelig og let at gøre fejl i.

Til alt held findes der en anden, simplere metode. Den benytter sig af cofaktorer, som er et begreb udelukkende knyttet til kvadratiske matricer (som iøvrigt er de eneste, for hvilke determinantbegrebet er defineret).

En cofaktor C_r,s af en matrice A, er determinanten af den matrice M_r,s der fremkommer ved at slette række r og søjle s i A og dernæst multipicere denne undermatrice med (-1)^(r+s).

Eksempel: Lad det(A) være

|1 2 3|
|4 0 7|
|0 9 -1|

Cofaktoren til elementet 9, altså C_3,2, er

|1 3|
|4 7| * (-1)^(2+3) = -(7-12) = 5

Der gælder nu den sætning - og jeg skal gerne vise den for dig efter arbejdstid - at determinanten af en matrice A kan ekspanderes efter en række eller søjle ved hjælp af cofaktorer. Ekspanderes det(A) langs række i af A er

det(A)=

n
sum[A_i,j * C_i,j]
j=1

hvor A_i,j er elementet på række i, søjle j i A. Der gælder et helt analogt resultat for ekspansion langs en søjle.

Det smarteste er naturligvis at opløse/ekspandere det(A) efter rækker/søjler med mange nuller, idet ethvert A_i,j=0 jo ikke bidrager til ovenstående sum.

Vi kan færdiggøre eksepmlet ovenfor vha denne metode. Lad os opløse A langs nederste række. Så er

det(A) =

|1 2 3|
|4 0 7|
|0 9 -1|

=

9*(-1)^(3+2)*M_3,2 -1*(-1)^(3+3)*M_3,3

hvor

M_3,2 =

|1 3|
|4 7|

= 5

og

M_3,3 =

|1 2|
|4 0|

= -8

Ergo er

det(A) = -9*5-(-8) = -37

Dette princip kan du anvende på den forelagte determinant med komplekse elementer.

Så er jeg her med mit løsningsforslag:

|0 0 2-3i 3-5i|
A= |0 -1+2i 0 0 |
|-5+2i 0 2+i 0 |
|-3+4i 4-3i 0 5i |

Ja som du har forklaret så grundigt anvender jeg mig af Cofactor reglen..

Cofactoren til elemnet 2-3i altså C_13 er :

| 0 -1+2i 0 |
A= |-5+2i 0 2+i | * (-1)^1+3
|-3+4i 4-3i 0 |

= 0 |0 0|
|4-3i 5i| = 0


|0 0 2-3i 3-5i|
A= |0 -1+2i 0 0 |
|-5+2i 0 2+i 0 |
|-3+4i 4-3i 0 5i |
= 2-3i*(-1)^1+3 *det_3,2 - 3-5i*(-1)^1+4 * det_1,4

hvor det_3,2 = 2-3i|0 0| =0
|2+i 0|
|4-3i 0|

og det_1,4 = 3-5i |0 2+i| =3-5i ((2+i)*(4-3i))= 3-5i(8-6i + 4i-3i^2)=
3-5i(3i^2 -2i +8)= 9i^2 - 6i + 24 -15i^3 - 10i^2 -40i = -15i^3 -i^2 - 46i +24

det vil altså sige at :
det(A)= 2-3i(0)- (-15i^3 -i^2 - 46i +24) = 15i^3 -i^2 - 46i +24

Ja jeg tror absolut at der er gået noget galt undervejs, menkan ikke rigtig se hvad det er... Jeg synes nemlig heller ikke at resultatet ser spor realistisk ud...På forhånd tak(fixer)
Gorilla

Det går galt med opløsningen i cofaktorer.

Lad os opløse A efter søjle 3. Så er

det(A)=(2-3i)C_1,3 + (2+i)C_3,3

hvor C_1,3 er

|0 -1+2i 0|
|-5+2i 0 0| * (-1)^(1+3)
|-3+4i 4-3i 5i|

Du er kommet til at medtage forkeret elementer i søjle 3. Husk du skal fjerne række r og søjle s for at finde C_r,s.

C_1,3 kan atter opløses efter søjle 3 som

C_1,3 = (5i)*(C_1,3)_3,3

hvor (C_1,3)_3,3 er

|0 -1+2i|
|-5+2i 0|*(-1)^(3+3)

=

-(-5+2i)(-1+2i)

Altså er

(2-3i)C_1,3 =

-(2-3i)(5i)(-5+2i)(-1+2i) =

-135+170i


C_3,3 er

|0 0 3-5i|
|0 -1+2i 0| * (-1)^(3+3)
|-3+4i 4-3i 5i|

som lettest opløses efter række 1.

C_3,3 = (3-5i)(C_3,3)_1,3

hvor

(C_3,3)_1,3 =

|0 -1+2i|
|-3+4i 4-3i| * (-1)^(1+3)

=

-(-1+2i)(-3+4i)

Altså er

(2+i)C_3,3 =

-(2+i)(3-5i)(-1+2i)(-3+4i) =

132+86i

...med mindre jeg i skyndingen har ganget forkert ud. Du må lige regne efter.

tak...jeg forstår snart ikke hvordan jeg skal takke dig(Fixer)..! forsatgod dag/weekend