Partikulær løsning!!????

y' = 20 - 3y

Benyt panserformlen til at finde den fuldstændige løsning. Derefter partikulær løsning med P(1,4).

#1

Man kan også løse differentialliningen ved separation af de variable:

y' = -3·( y - 20/3) , dvs.

(y - 20/3)' = -3·(y - 20/3)

∫ (1/(y - 20/3)) d(y - 20/3) = -3·∫ dx ,

ln(y - 20/3) = -3x + k

Svar #1: hm, jeg kender ikke til panserformlen? kan du forklare det?

Svar #2: min lærer vil gerne at vi løse den på denne måde, kan du måske hjælpe mig videre her fra, hvor jeg nu skal finde den partikulære løsning? :)

#3

Hvis man fortsætter fra #2, får man

y - (20/3) = c·e^-3x , og dermed

y(x) = (20/3) + c·e^-3x ,

som er den generelle løsning til differentialligningen.

Man skal så bestemme c, så at løsningen graf går gennem punktet P(1,4) , dvs. så at y(1) = 4, altså

4 = (20/3) + c·e^-3

hmm altså jeg har udregnet den homogene løsning:

dy/dx + 3y = 0

dy/dx = -3y 

∫(1/y)dy = ∫-3dx +k

ln(y)= -3x + k 

y = k*e^-3x

og det er så nu, at jeg skal finde den partikulære løsning, at jeg ikke kan komme videre! :( kan du hjælpe mig videre herfra??

#3

Den såkaldte panserformel giver den generelle løsning til den lineære differentialligning af første orden:

y' + p(x)·y = q(x)

hvor p(x) og q(x) er kontinuerte funktioner. Løsningen er

y(x) = e^-P(x) · ( ∫ e^P(x) · q(x) dx + c) ,

hvor P(x) = ∫ p(x) dx er en stamfunktion til p(x) , og c er en arbitrær konstant.

#5

Se #4.

Du skal løse den inhomogene ligning, før du bestemmer den partikulære løsning.

tusind tak for svar Andersen11! men vi har lært det på en lidt anden måde så jeg har lidt svært ved at forholde mig til det her! synes at det er ret svært at forstå alt det her med differentialregning :(

#7 jeg ved ikke helt hvad du mener? hvordan bestemmer jeg den inhomogene løsning?? :S

#9

Den er løst for dig i #2 og #4.

Man kan sikkert også slå den generelle løsning op til differentialligningen

y' + a·y = b

hvor a og b er konstanter. Den findes på helt samme måde, som det er gjort i #2:

y' = b - ay = -a·(y - (b/a)) , så

(y - (b/a))' = -a·(y - (b/a)) , hvorfor

ln(y - (b/a)) = -ax , og dermed

y = (b/a) + c·e^-ax

Her er a = 3 og b = 20 .

tusind tak for hjælpen og for din tid Andersen11 - det har været en stor hjælp :) jeg prøver lige at læse det igennem et par gange for at forstå det helt - endnu engang tak! :) 

fortsat god aften