rengmålerens skala på keglestub

                 ...det lineære forhold er lig med volumenforholdet i ¹/₃

      regnmålerens fyldte volumen

                                                               V = ¹/₃ • 8 • π • (3² + 1² + 3•1) = 108,909

afstand fra bund til volumenmærke for 10            

                                                               h₁₀ / 8  = (10 / 08,909)^1/3 = 0,451141     

                                                               h₁₀ = 8 • 0,451141 = 3,61              

    afstand fra bund til volumenmærke for 20            

                                                               h₂₀ / 8  = (20 / 08,909)^1/3 = 0,568403    

                                                               h₂₀ = 8 • 0,568403 = 4,55

    lodret afstand mellem 0 og 10 mærke

                                                               h₁₀ = 3,61
 

    lodret afstand mellem 10 og 20 mærke

                                                               h₂₀ - h₁₀ = 4,55 - 3,61 = 0,94

 

hvor fra ved du, at det lineære forhold er lig med volumenforholdet i 1/3?

                    Folkeskolegeometri

Keglestubben kan beskrives som linjen   der roteres 360º om x-aksen.

Benyt formlen for rumfanget, fra bunden, (med radius 1) og til mærket x₀ .

Løs denne m.h.t.  x₀ og mærkerne kan afsættes med passende værdier af rumfanget (fra x = 0 til x = x₀ ). .

# 5 fortsat.     Målestregerne s₀ langs den skrå side, regnet fra bunden, findes v.h.a. formlen 

Rumfang af kegle er 1/3 h*G hvor G er π*r²

Rumfang af keglestub 1/3 h*(r_top²+r_bund²+r_top*r_bund)

R=10 =1/3*h₁₀*π*r₁₀²

h₁₀=10*3/(π*r₁₀²)

Som jeg forstår det, er der tale om en regnmåler af form som en (omvendt) keglestub med en radius R_b i bunden og en radius R_t i toppen og en lodret højde H mellem bund og top. Når det regner, samler beholderen alt det vand, der kommer inden for toppens tværsnitsareal A_t = π·R_t² , og opgaven drejer sig om at finde en sammenhæng mellem den højde s, som man normalt tilknytter en nedbørmængde, og den højde h, som vandet udfylder i regnbeholderen.

Hvis vandet udfylder højden h i regnbeholderen, er radius r i vandmængdens top da bestemt af

(R_t - R_b) / H = (r - R_b) / h, hvorfor

r = R_b + (R_t - R_b) · h / H .

Rumfanget af vandet i beholderen er så

V = (π/3) · h · (r² + r·R_b + R_b²)

og dette er også lig med rumfanget af den søjle vand med højden s, som regnede ned på beholderen, dvs.

V = (π/3) · h · (r² + r·R_b + R_b²) = π · s · R_t²

Isolerer vi s, ser vi, at s er udtrykt som funktion af h i form af et 3.-gradspolynomium, dvs.

s = (h/3) · ((r/R_t)² + (r/R_t)·(R_b/R_t) + (R_b/R_t)²) , hvor

(r/R_t) = (R_b/R_t) + (1 - (R_b/R_t))·(h/H)

Tolker regnmåleren, som den har største radius for oven, da afstandene mellem ækvidistante volumina mindskes fra bunden og op.

Nedbørsmængden fanges i det store areal på π·3² cm² .

Mærket for n mm nedbør  må da svare til den opsamlede mængde på  n·0,1·π·3²  cm³ som fylder keglestubben.

(Thi vi har,  1 mm nedbør  er  1000 cm³ pr. 10000 cm² .)

#9

Ja, det er helt i overensstemmelse med #8.

Kalder vi nedbørsmængden, i mm , for x , og den lodrette højde, i cm fra bunden i regnmåleren, f(x) , har vi: