Matematik
Vektorer i rummet
Jeg håber på at der findes en venlig sjæl derude der kan hjælpe mig med disse opgaver:
I et koordinatsystem i rummet er givet fire punkter:
A(1,1,6), B(-1,-1,-2), C(2,-4,4) og D(0,-2,0).
1.1: Gør rede for, at punkterne ligger i samme plan.
I et koordinatsystem i rummet er givet vektoren j(vektorpil) = (0,1,0) samt punkterne A(0,-1,-1) og B(3,2,0).
2.1: Beregn vinklen mellem AB(vektorpil) og j(vektorpil).
En plan indeholder punkterne A og B og er parallel med vektoren a(vektorpil) = (3,-2,1).
2.2: Bestem en ligning for denne plan.
I et koordinatsystem i rummet er en linje l givet ved parameterfremstillingen:
(x,y,z) = (1,0,0) + t * (1,-1,1), t ∈ R
3.1: Bestem vinklen mellem de to planer gennem l, der indeholder henholdsvis punktet A(0,0,1) og punktet B(0,1,0).
I rummet er givet et koordinatsystem med begyndelsespunkt O. En plan α er givet ved ligningen:
2x + 3y + z = 6
4.1: Bestem koordinatsættet til hvert af de tre punkter A, B og C, hvori planen skærer koordinatsystemets akser.
4.2: Beregn arealet af trekant ABC.
4.3: Bestem koordinatsættet til projektionen af begyndelsespunktet O på planen α.
Mange tak.
Svar #1
31. januar 2013 af Andersen11 (Slettet)
1.1. Vis at vektorerne AB × AC og AB × AD er parallelle.
2.1 Benyt formlen for cosinus til vinklen mellem to vektorer.
2.2 Vektoren a×AB kan være normalvektor til planen, og punkterne A og B.
3.1 Bestem vinklen mellem de to planers normalvektorer. Kald punktet C(1,0,0) og kald liniens retningsvektor for r. Den ene plan har vektoren AC×r som normalvektor, den anden plan har vektoren BC×r som normalvektor.
4.1. x-aksen er karakteriseret ved y = 0 og z = 0. Bestem x-aksens skæringskoordinat med planen ved at sætte y = 0 og z = 0 i planens ligning. TIlsvarende fremgangsmåde for de to andre akser.
4.2. Beregn trekantens sidelængder og benyt Heros formel.
4.3. Beregn afstanden d fra O til planen. Projektionen vil da være et af de to punkter, hvis stedvektor er
±d·n/|n|
hvor n er en normalvektor til planen.
Svar #2
31. januar 2013 af EigilStig (Slettet)
Det var godt nok mange spørgsmål.
1.1) Du skal opstille planens ligning, hvilket du gør ved en normalvektor og et punkt. Jeg ville generere planens ligning for A, B og C, og se om D's koordinater passer ind. Uden at hjælpe for meget, kan jeg røbe, at du skal definere to vektorer mellem punkterne og krydse dem for at få normalvektoren.
2.1) Du definerer vektoren ->AB, og bruger formlen for vinkel mellem to vektorer: cos(v)=(a.b)/|a|*|b|
2.2) Du skal simpelt bestemme normalvektoren og bruge et af punkterne
3.1) Vi har ikke lært om vinkler mellem planer endnu, så det kan jeg ikke hjælpe dig med
4.1) Du sætter henholdsvis de tre koordinater lig 0 i par og udregner værdierne for den sidste koordinat
4.2) Du bruger, at T=1/2*|a|*|b|*sin(v),
4.3) Jeg antager at O betyder origo. Du fremstiller en parameterfremstilling ud fra planens normalvektor, der fremstiller en linje, der går igennem origo. Du finder da parameteren t, til hvilken linjen skærer planen, som du kan genindsætte i parameterfremstillingen for at få koordinatsættet
Selv tak
Skriv et svar til: Vektorer i rummet
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.