basis

Hvis a = ∑ λ_ie_i , hvor {e_i} er en ortonormal basis, har man jo

a•e_j = λ_j ,

da e_i•e_j = δ_ij (Kronecker delta).

Det kan gøres megæet nemmere For basisvektorerne gælder e_i·e_j  er 0 for i≠j og 1 for i=j

En vektor x kan skrives som

x= x₁e₁+x₂e₂+ .... x_ne_n     hvor xi er koordinaterne

Der glder for eks

x·e₁  = x₁e₁·e₁+x₂e₂·e₁+^....   x_ne_n·e₁ = x₁*1+x₂*0+.... x_n*0 = x₁

okay det giver jo god mening. Men kan I så spotte, hvor jeg går galt i mit ligningssystem?

#3

Hvad udtrykker det ligningssystem?

2 ortogonale vektorer (a b) (-b a) linearkombineres til en ny vektor (c d) med koefficienterne x1 og x2. Som det kan ses får jeg det rigtige for anden koordinaten, men der går noget galt for første koordinaten x1. 

#5

Du har disse to ligninger

abx₁ - b²x₂ = cb

abx₁ + a²x₂ = ad

Trækker man den øverste fra den nederste får man

(a²+b²)x₂ = ad - bc , dvs

x₂ = ad - bc , da a²+b² = 1 .

Man har så

x₁ = (c + bx₂)/a = (c + abd - b²c)/a = (c + abd -c + a²c)/a = bd + ac

I øvrigt benytter man ikke, at (c,d) er normeret, kun at (a,b) er normeret. Resultatet gælder for vilkårlige vektorer opløst efter en ortonormal basis, hvilket også fremgår af #1.