Hvad "gør" cot, csc og sec

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. september 2005 af Epsilon (Slettet)

Funktionerne cotangens (cot), cosecans (csc) og secans (sec) er simpelthen de multiplikativt inverse (syn: reciprokke) til de velkendte trigonometriske funktioner: tangens, sinus og cosinus,

cot(z) = 1/tan(z) = cos(z)/sin(z)

csc(z) = 1/sin(z)

sec(z) = 1/cos(z), z E R\\{pi/2 + Z*pi}

Cotangens og cosecans er begge defineret for alle z, som ikke er hele multipla af pi, dvs. z E R\\{Z*pi}.

Mig bekendt bruges disse trigonometriske funktioner ret sjældent. I matematik på gymnasialt niveau optræder de overhovedet ikke; i hvert fald ikke i ordinært pensum. Hvad de konkret anvendes til, ved jeg ikke. Men mon ikke en søgning på en af søgemaskinerne på nettet kan give informationer om den sag?

//Epsilon

Svar #2
30. september 2005 af Norn (Slettet)

Grunden til jeg spørger er denne:
http://mathworld.wolfram.com/RegularPolygon.html

[1] til [9]

Da jeg hader at bruge formler, som jeg ikke kender beviset for, generer det mig utroligt meget at jeg ikke fatter det (jeg vil nemlig godt bruge den formel)!

Man kan sikkert let fremstille et bevis, der ikke bruger alle de "sjælent brugte" funktioner, MEN så vinder mathworld og det er ikke bedst :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#2:
Tag udgangspunkt i figuren svarende til n = 5 og se på vilkårlige n. Overbevis dig selv om, at situationen reelt er analog med den viste.

Topvinklen i en ligebenet trekant med benene R og R og grundlinje s, er tillige centervinklen, som spænder over en cirkelbue, hvis endepunkter er to af hjørnepunkterne i den regulære polygon. Denne vinkel måler derfor præcis 2*pi/n. Vinklen mellem de viste vektorer, hvis længder er r og R henholdsvis, må derfor være

pi/n

thi højden r fra centrum og ned på midtpunktet af s halverer jo centervinklen.

Betragt herefter den retvinklede trekant med siderne r, R og s/2. Da gælder

tan(pi/n) = (s/2)/r = s/(2r)

hvoraf (1) følger. Da cos(pi/n) = r/R, følger (2). (3)-(6) er nu blot simple omskrivninger ved hjælp af de i #1 definerede trigonometriske funktioner.

Da

cot(pi/n) = 1/tan(pi/n),

følger (3) af (1), og da

sin(pi/n) = (s/2)/R = s/(2R),

er s = 2R*sin(pi/n), og (4) følger dermed af (3). (5) følger ved at sammenholde (3) og (4), og (6) er en umiddelbar konsekvens af (1) og (5). Brug blot definitionerne af cosecans og secans.

Idet vi med A_(1/(2n)) betegner arealet af trekanten, er

A_(1/(2n)) = (1/2)(s/2)r = (1/4)rs

Dette udgør som bekendt 1/(2n) af hele polygonen, så

A = 2n*A_(1/(2n)) = (1/2)nrs = (1/4)n*s^2(cot(pi/n))

idet r = (1/2)s*cot(pi/n), cf. (3), hvilket viser (7). Men så følger (8) af (1), idet s^2 = 4r^2(tan(pi/n)^2).

Af (3) haves:

r^2 = R^2(cos(pi/n)^2)

der, indsat i (8), fastlægger

A =
nR^2(tan(pi/n)*cos(pi/n)^2) =
nR^2(sin(pi/n)*cos(pi/n)) =
(1/2)nR^2(sin(2*pi/n)) *)

hvilket viser (9) og dermed afslutter beviset for korrektheden af (1)-(9).

*) I sidste skridt benyttes en af de velkendte formler for dobbelt vinkel,

sin(2*pi/n) = 2*sin(pi/n)*cos(pi/n)

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #4
01. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#2:
Det blev lidt knudret et par steder i #3, så vi prøver én gang til.

Tag udgangspunkt i den viste figur (n = 5) og se på vilkårlige n. Du skulle let kunne overbevise dig selv om, at situationen er analog med den viste.

Topvinklen i en ligebenet trekant med benene R og R og grundlinje s, er tillige centervinklen, som spænder over en cirkelbue, hvis endepunkter er to af hjørnepunkterne i den regulære polygon. Denne vinkel måler derfor præcis 2*pi/n. Vinklen mellem de viste vektorer, hvis længder er r og R henholdsvis, må derfor være

pi/n

thi højden r fra centrum og ned på midtpunktet af s halverer jo centervinklen.

Betragt nu den retvinklede trekant med siderne r, R og s/2. Da gælder

tan(pi/n) = (s/2)/r = s/(2r)

hvoraf (1) følger. Da cos(pi/n) = r/R, følger (2) af (1).

(3) følger af (1); se definitionen af cotangens i #1, og (4) følger ved indsættelse af (2) i (3). (5) følger ved at sammenholde (3) og (4), og (6) er en umiddelbar konsekvens af (1) og (2). Husk definitionerne af cosecans og secans.

Lad A_(1/(2n)) betegne arealet af trekanten,

A_(1/(2n)) = (1/2)(s/2)r = (1/4)rs

Trekanten udgør som bekendt 1/(2n) af hele polygonen, så

A = 2n*A_(1/(2n)) = (1/2)nrs = (1/4)n*s^2(cot(pi/n))

idet r = (1/2)s*cot(pi/n), cf. (3), hvilket viser (7). Men så følger (8) af (1), idet s^2 = 4r^2(tan(pi/n)^2).

Af (3) haves:

r^2 = R^2(cos(pi/n)^2)

som, indsat i (8), fastlægger

A =
nR^2(tan(pi/n)*cos(pi/n)^2) =
nR^2(sin(pi/n)*cos(pi/n)) =
(1/2)nR^2(sin(2*pi/n)) *)

hvilket viser (9) og dermed afslutter beviset for korrektheden af (1)-(9).

*) I sidste skridt benyttes en af de velkendte formler for dobbelt vinkel,

sin(2*pi/n) = 2*sin(pi/n)*cos(pi/n)

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. oktober 2005 af iB (Slettet)

#1
Lige hurtigt spørgsmål:

csc(z) = 1/sin(z) = sin(z)^-1 = arcsin(z)

Kan man skrive det?

Brugbart svar (0)

Svar #6
01. oktober 2005 af Vegeta (Slettet)

#5. Der er forskel på f^-1(z) og (f(z))^-1. arcsin(z) = sin^-1(x), mens 1/sin(z) = (sin(z))^-1.

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. oktober 2005 af Vegeta (Slettet)

#5. Der er forskel på f^-1(z) og (f(z))^-1. arcsin(z) = sin^-1(x), mens 1/sin(z) = (sin(z))^-1.

Svar #8
01. oktober 2005 af Norn (Slettet)

Epsilon, mange tak for hjælpen

Aggr! Det her er simpelthen for mystisk!

Jeg sidder med en specifik opgave... og den formel vil bare ik virke :(

Facit til arealet er 4295

radius til den omskrevne cirkel er ca. 39 og det er en ottekant.

A = (1/2)nR^2(sin(2*pi/n))
=>
A = (1/2) * 8 * (39)^2 * sin((2pi)/8)
<=>
A = 83,39

Det er jo utroligt langt fra facit :( Hvad gør jeg galt?

Svar #9
01. oktober 2005 af Norn (Slettet)

Ingen der kan lure det?

Brugbart svar (0)

Svar #10
01. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#5:
Nej, der skelnes klart mellem den multiplikativt inverse til sinus, som er cosecans:

csc(z) = 1/sin(z) = (sin(z))^(-1)

og den inverse (omvendte) funktion til sinus. Hvad sidstnævnte angår, lad dertil S:[-pi/2;pi/2] -> R være funktionen

S(z) = sin(z), z E [-pi/2;pi/2]

Så er S strengt voksende (betragt enhedscirklen for vinkelargumenter i det givne interval, sinus vokser fra -1 til 1), og derfor har den en omvendt funktion A: [-1;1] -> R

Denne omvendte funktion betegnes arcsin og benævnes 'arcus sinus',

A(y) = arcsin(y), y E [-1;1]

Bemærk, at det præcis er monotoniciteten af sinus i [-pi/2;pi/2], som sikrer eksistensen af den inverse funktion; sinus er som bekendt ikke monoton i hele R; med andre ord restringerer vi sinus fra hele R til [-pi/2;pi/2] for at kunne give mening til den inverse funktion.

I modsætning hertil er cosecans ganske enkelt defineret overalt på nær i punkterne z E Z*pi;

Z = {0,±1,±2,...}

idet sin(z) = 0 for z = n*pi, n E Z.

//Epsilon

Svar #11
01. oktober 2005 af Norn (Slettet)

Ah... :) har luret det!

Epsilon, tak igen

Brugbart svar (0)

Svar #12
01. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#8:
Det er den sædvanlige 'standardfejl'; vinkelargumentet skal indstilles til radian, ikke grader. Hvis du vil regne med gradtal, skal du først konvertere vinkelargumentet,

2*pi/8 = 2*(180deg)/8 = 45deg

og indsætte dette i stedet. Arealet er eksakt

A = 2*sqrt(2)*(39)^2 *)

(afrundet ca. 4302); ikke 4295, som der ellers står i facitlisten.

*) sin(2*pi/8) = sin(pi/4) = 1/sqrt(2) er en af de alment kendte, eksakte sinusværdier.

//Epsilon

Svar #13
01. oktober 2005 af Norn (Slettet)

Nemlig det :) eller bare omskrive formlen til:

A = (1/2)nR^2(sin(360/n))

Brugbart svar (0)

Svar #14
01. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#13: Netop.

//Epsilon

Matematik

Skriv et svar til: Hvad "gør" cot, csc og sec