Matematik

minispørgesmål, diff bevis

01. oktober 2005 af Stine pigen (Slettet)

Hejza, jeg skal bevise at f(x)=1/(x^2) er differentiabel i x-->x0 og finde f'(x)

vi har tidligere i klassen bevist for
f(x)=x^2

Er det ikk fuldstændig det på samme måde, bare man ender med resultat f'(x)=1/(2x0)?

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

Kort sagt: nej.

Vi skal vise, at den ved fastsættelsen

f(x) = 1/x^2, x != 0

definerede funktion er differentiabel. Lad dertil x0 != 0 og h > 0 være vilkårligt givne.

Vi skal vise, at differenskvotienten

(f(x0 + h) - f(x0))/h (*)

har endelig grænseværdi for h -> 0. Kanske I er vant til at skrive

(f(x) - f(x0))/(x-x0)

og dernæst undersøger, om denne har en endelig grænseværdi for x -> x0. Skriver vi x = x0 + h, ses dette at være helt ækvivalent med (*).

Arbejd derfor ud fra differenskvotienten på én af de ovennævnte former og se, om ikke du kan få den omskrevet passende, så du kan udnytte kontinuiteten af f.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #2
01. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#1: undersøger -> undersøge

//Epsilon

Svar #3
01. oktober 2005 af Stine pigen (Slettet)

jeg prøver: så sættes det ind i differenskvotienten:

((1/x^2)-(1/x^2o))/x-xo

Så må vi jo opløse det her((1/x^2)-(1/x^2o)), så vi ender bl.a. med
(x-x0) så det kan gå ud med nævneren ??

Altså:
(1/x^2)-(1/x^2o)=( )(x-x0)

der skal findes en værdi til den tomme parentes, så når vi ganger den tomme parentes med (x-x0) skal det så give (1/x^2)-(1/x^2o). Det findes ud af ved at sige ((1/x^2)-(1/x^2o))/(x-x0)

jeg kan ikke regne det ud jeg har kommet med, og mener det er mit bedste bud.. på forhånd mange tak

Brugbart svar (0)

Svar #4
01. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Benyt kvadratregelen:

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

Efter at have sat udtrykket

1/x^2 - 1/x0^2

på fælles brøk haves

(x0^2 - x^2)/((x^2)(x0^2))

Anvend kvadratregelen på tælleren.

Svar #5
01. oktober 2005 af Stine pigen (Slettet)

sorry men jeg kan altså ikke følge med hvad du laver der..

ja udtrykket er 1/x^2 - 1/x0^2

hæver du dem så de står med hver sin nævner??

jeg vil blive meget glad hvis du uddyber det lidt mere

på forhånd mange tak

Svar #6
01. oktober 2005 af Stine pigen (Slettet)

hvor bliver et-tallerne henne i
(x0^2 - x^2)/((x^2)(x0^2))

da udtrykket er 1/x^2 - 1/x0^2

på forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Ok. Regningerne forløber som

1/x^2 - 1/x0^2 =

x0^2/((x0^2)(x^2)) - x^2/((x^2)(x0^2)) = (*)

(x0^2 - x^2)/((x0^2)(x^2))

Udnyt så at

x0^2 - x^2 = (x0+x)(x0-x)

I (*) sættes på fælles brøk. Det foregår jo helt generelt som

a/b - c/d = (ad-bc)/(bd)

Svar #8
01. oktober 2005 af Stine pigen (Slettet)

jeg er bedre med nu, men der står jo 1 divider... hvor bliver 1 tallerne henne?

Svar #9
01. oktober 2005 af Stine pigen (Slettet)

Jeg prøver lige:

Sætter udtrykket i differenskvotienten:

((1/x^2) - (1/x0^2))/(x-x0)

hvad gør du så? forlænger du den med noget?

Vil du forklre den herfra, for vi er lige gået igang med differentialregning.. på forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #10
01. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Selve regningerne har ikke noget med differentialregning at gøre, den er blot brøkregning.

At bringe to brøker på fælles nævner består blot i at gange hver brøk med den anden brøks nævner i både tæller og nævner.

F.eks. har vi

1/4 - 1/9 =

(9*1)/(9*4) - (4*1)/(4*9) =

9/(9*4) - 4/(9*4) =

(9-4)/(9*4) =

5/(9*4) =

5/36

Helt generelt gælder som nævnt

a/b - c/d = (ad-bc)/(bd) (b,d !=0)

Vi kan prøve at indsætte tallene fra eksemplet:

a=1, b=4 og c=1, d=9

giver

1/4-1/9 = (1*9-4*1)/(4*9) =

(9-4)/(4*9) =

5/36

helt som ventet.

Vender vi os nu mod

1/x^2 - 1/x0^2

ja så kan vi jo sætte

a=1, b=x^2 og c=1, d=x0^2

og så får vi igen ved indsættelse

1/x^2-1/x0^2 =

(1*x0^2 - 1*x^2)/((x0^2)(x^2)) =

(x0^2-x^2)/((x0^2)(x^2)) =

(x0+x)(x0-x)/((x0^2)(x^2))

Dette er nu din tæller i differenskvotienten. Faktoren x-x0 = -(x-x0) kan nu forkortes bort. Dernæst skal du bestemme grænseværdien af det resulterende udtryk for x->x0.

Svar #11
01. oktober 2005 af Stine pigen (Slettet)

tusind tak fixer for at du gerne vil bruge en del af din tid på mig.. jeg er helt med hvis jeg også får fortlt grænseværdien?

Når x-x0 og (x-x0)går du med hinanden har vi (x0-x)/(x0^2)(x^2)tilbage,

skal man så lade hele stykket gå mod f'(x0)??

Svar #12
01. oktober 2005 af Stine pigen (Slettet)

vi har (x0-x)/(x0^2)(x^2) tilbage, jeg tænkte på at opløse nævneren ved bruge parentesregler, men har lige tjekket siden ud af der kun nogle for med + og - men ikke nogen med gange??

Brugbart svar (0)

Svar #13
02. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

Det er reelt alt for gudsjammerligt sent nu, og for øvrigt er opgaven vist efterhånden at betragte som værende tampet godt og grundigt i jorden. Med forbehold for fejl følger her et vejledende

BEVIS
Vi skal vise, at den ved fastsættelsen

f(x) = 1/x^2, x != 0

definerede funktion er differentiabel. Lad dertil x0 != 0 og x != x0 være vilkårligt givne. Vi har

(f(x) - f(x0))/(x-x0) =

(1/x^2 - 1/(x0)^2)/(x-x0) =

((x0)^2 - x^2))/((x*x0)^2 * (x-x0)) =

-((x+x0)(x-x0))/((x*x0)^2 * (x-x0)) =

-(x + x0)/(x*x0)^2

Idet vi definerer

g(x) = -(x + x0), h(x) = (x*x0)^2,

haves

(f(x)-f(x0))/(x-x0) = g(x)/h(x).

Vi ser, at g og h er kontinuerte (polynomier er kontinuerte); specielt er grænseværdien

lim[h(x)] = (x0)^4 != 0.
x -> x0

og heraf slutter vi, at også grænseværdien

lim[(f(x)-f(x0))/(x-x0)]
x -> x0

eksisterer, hvorved f er differentiabel. Per kontinuitet af g og h i x0 følger det, at

lim[(f(x)-f(x0))/(x-x0)] =
x -> x0

lim[g(x)/h(x)] =
x -> x0

-(x0 + x0)/(x0*x0)^2 =

-2/(x0)^3

Differentialkvotienten af f er således

f'(x) = -2/x^3, x != 0

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #14
02. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#13:
Undertiden har man en ufravigelig lyst til at forbande den inkompetente orddelingsfacilitet astronomisk langt væk!

Der står i linjerne 8-9 at læse, at

x0 != 0 og x != x0

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #15
02. oktober 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#14:
Jamen dog, fornemmer jeg en vis fjendelighed? ;-)
Prøv med en mindre (eller større) tekststørrelse, det burde kunne gøre det, for jeg har i hvert fald ingen problemer hvad det angår!

Brugbart svar (0)

Svar #16
02. oktober 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#15:
fjendelighed? --> fjendtlighed overfor tilladte linjeskift ved matematiske operatorer og lignende?

Brugbart svar (0)

Svar #17
02. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#15:
Hvis den ellers delte hensigtsmæssigt, ville jeg slippe for overhovedet at brokke mig. Jeg gider hverken vælge en anden skriftstørrelse eller gætte, hvor der er linjeskift. Det er ret nytteløst, når spaltebredden forholdsvis ofte varierer trådene imellem.

//Epsilon

Svar #18
02. oktober 2005 af Stine pigen (Slettet)

hvorfor er de kontinuerte? og hvad vil det sige at de er kontinuerte?

Brugbart svar (0)

Svar #19
02. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#18:
I har forhåbentlig haft om kontinuerte funktioner forinden differentialregning. Kontinuitet er en helt central egenskab, som blandt andet benyttes i forbindelse med beviser for differentiationsregnereglerne; med andre ord _skal_ I have fod på, hvad det betyder, at en funktion er kontinuert.

Den formelle definition, som benyttes i gymnasiet er mig bekendt følgende:

DEFINITION
En funktion f siges at være kontinuert i punktet x0, hvis følgende gælder:

x -> x0 => f(x) -> f(x0) (*)

Funktionen f er kontinuert, hvis den er kontinuert i ethvert punkt (i sit definitionsområde).

I ovenstående defintion ligger således:

1)
En lokal egenskab: hvis blot vi vælger x 'tæt nok' på x0, kan funktionsværdierne bringes vilkårligt tæt på f(x0). Specielt skal f naturligvis være defineret i x0 for at man kan tale om kontinuitet i x0.

2)
En global egenskab: f er kontinuert, hvis den opfylder (*) for ethvert x0 i definitionsområdet.

Formuleret i termer af grænseværdier lyder definitionen på kontinuitet i x0 således:

lim[f(x)] = f(x0)
x -> x0

Ergo: f er kontinuert i punktet x0, hvis f har en grænseværdi for x gående mod x0 OG denne grænseværdi er lig funktionsværdien f(x0).

Undertiden hænder det, at man betragter funktioner på et mindre interval (lad os sige 'I') end hele definitionsområdet. Helt analogt med ovenstående siger man da, at f er kontinuert på I, hvis f er kontinuert i ethvert punkt i I.

En vigtig gruppe af kontinuerte funktioner er polynomierne; g og h i #13 er eksempler herpå. Du behøver ikke i forbindelse med beviset i #13 at vise, at g og h er kontinuerte. Men du skal vide det og kunne bruge det for at fuldføre beviset, som det er foreslået i #13.

//Epsilon

Skriv et svar til: minispørgesmål, diff bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.