Cirklensligning

                             cirkelligning

                                                            (x - a)² + (y - b)² = 25²

                                                og

                                                            (3 - a)² + (38 - b)² = 25²

                                                            (43 - a)² + (30 - b)² = 25²

                                 solve((3 - a)^2 + (38 - b)^2 = 25^2 and (3 - a)^2 + (38 - b)^2 = 25^2, {a,b})
 

#2

Løs de to ligninger i a og b, der fremkommer ved at indsætte de kendte koordinatsæt for punkterne A og B sammen med cirklens radius r = 25 i cirklens ligning. Løsningen (a,b) er koordinatsættet til cirklens centrum.

Ligningerne skal være

 (3 - a)² + (38 - b)² = 25²      (for punkt A)

(26 - a)² + (25 - b)² = 25²    (for punkt B)

Udtrykket med solve i #1 skal også korrigeres for Ligning II.

                                                          (3 - a)² + (38 - b)² = 25²

                                                          (26 - a)² + (25 - b)² = 25²

                                 solve((3 - a)^2 + (38 - b)^2 = 25^2 and (26- a)^2 + (25 - b)^2 = 25^2, {a,b})

#1

                             cirkelligning

                                                            (x - a)² + (y - b)² = 25²

                                                og

                                                            (3 - a)² + (38 - b)² = 25²

                                                            (43 - a)² + (30 - b)² = 25²

                                 solve((3 - a)^2 + (38 - b)^2 = 25^2 and (3 - a)^2 + (38 - b)^2 = 25^2, {a,b})

Kan se at du er gået ud fra punkt A og P. Men det gør ikke så meget, så længe jeg forstår det. Har prøvet at gå et skridt videre, men gik igen i stå.

Jeg er gået udfra punkt A og B:

((3 - a)^2 + (38 - b)^2 = 25^2

9+a^2-6a + 1444+b^2 - 76b= 25^2

---
(26 - a)^2 + (25 - b)^2 = 25^2
676+a^2-52a + 625+b^2-50b = 25^2

Kan man så ikke sætte de to andengradsligninger sammen, nu når ?Så det bliver sådan her så så
676+a^2-52a + 625+b^2-50b= 9+a^2-6a + 1444+b^2 - 76b

er korrigeret i #4

Hov, det er det da også

#5

Se korrektionerne i #3 og #4.

Man løser ligningssystemet

(3 - a)² + (38 - b)² = 25² (for punkt A)

(26 - a)² + (25 - b)² = 25² (for punkt B)

ved først at trække ligningerne fra hinanden. Derved får man

(3-a)² - (26-a)² + (38-b)² - (25-b)² = 0 , der ved benyttelse af en kvadratsætning bliver til

-23·(29-2a) + 13·(63-2b) = 0 , eller

46a - 26b = 23·29 - 13·63 = -152 , eller

a = (13/23)b -(76/23) , der nu kan indsættes i en af de to oprindelige ligninger:

((145/23) - (13/23)b)² + (38-b)² = 25²

Ligningen har to løsninger for b, og man skal i henhold til tegningen vælge den største værdi for b.

Her er en alternativ fremgangsmåde.

Cirklens centrum C ligger på midtnormalen for liniestykket AB. Midtpunktet M for liniestykket AB har koordinaterne

M((3+26)/2 ; (38+25)/2) = M(14,5 ; 31,5)

Afstanden |AM| er lig med (1/2)·|AB|, dvs

|AM| = (1/2)·√((3-26)²+(38-25)²) = (1/2)·√698 .

Afstanden fra M til cirklens centrum findes af Pythagoras:

|MC| = (25² - |AM|²)^1/2 = √450,5 .

En retningsvektor til midtnormalen er tværvektoren til AB, dvs AB^{^} = [23 ; -13]^{^} = [13 ; 23] .

En stedvektor til cirklens centrum C er da vektoren

OC = OM + |MC|·AB^{^} / |AB| = OM + √(450,5/698) · AB^{^}

      = [14,5 ; 31,5] + √(450,5/698) · [13 ; 26]

      = [24,944 ; 49,978]

#8

#5

Se korrektionerne i #3 og #4.

Man løser ligningssystemet

(3 - a)² + (38 - b)² = 25² (for punkt A)

(26 - a)² + (25 - b)² = 25² (for punkt B)

ved først at trække ligningerne fra hinanden. Derved får man

(3-a)² - (26-a)² + (38-b)² - (25-b)² = 0 , der ved benyttelse af en kvadratsætning bliver til

-23·(29-2a) + 13·(63-2b) = 0 , eller

46a - 26b = 23·29 - 13·63 = -152 , eller

a = (13/23)b -(76/23) , der nu kan indsættes i en af de to oprindelige ligninger:

((145/23) - (13/23)b)² + (38-b)² = 25²

Ligningen har to løsninger for b, og man skal i henhold til tegningen vælge den største værdi for b.


Mange tak fordi du vil hjælpe, men er stået lidt af

Forstår godt det med at du trækker de to ligninger fra hinanden, men forstår ikke dette:

-23·(29-2a) + 13·(63-2b) = 0 , eller

46a - 26b = 23·29 - 13·63 = -152 , eller

a = (13/23)b -(76/23) , der nu kan indsættes i en af de to oprindelige ligninger:

((145/23) - (13/23)b)2 + (38-b)2 = 252

Hvis du vil prøve på at forklare mig det igen vil det betyde meget

#10

Man benytter den kendte kvadratsætning

A² - B² = (A+B)(A-B) .

Når man trækker de to ligninge fra hinanden får man

(3-a)² - (26-a)² + (38-b)² - (25-b)² = 0

Man ser nu at

(3-a)² - (26-a)² = (3-a + 26-a)(3-a -26+a) = -23·(29-2a) , og

(38-b)² - (25-b)² = (38-b + 25 -b)(38-b -25+b) = 13·(63-2b) .

Sammenlagt fås så

-23·(29-2a) + 13·(63-2b) = 0 ,

og ganger man parenteserbe ud, fås

46a -26b = 23·29 - 13·63 = -152

og ved division med 2

23a - 13b = -76 ,

hvor man så kan isolere a til

a = (13/23)b - (76/23)

Det kan man så indsætte i ligningen

(3 - a)² + (38 - b)² = 25² ,

og man opnår så en 2.-gradsligning i b alene

((145/23) - (13/23)b)² + (38-b)² = 25²

#11

Nu er jeg ved at kigge på det igen, men jeg ved ikke om det mig der ser forkert, men

Er dette ikke forkert?Skal plusset ikke være minus?
(3-a + 26-a)(3-a -26 + a) = -23·(29-2a)

Skal det ikke sådan her ud
(3-a + 26-a) (3-a - 26-a) = (29-2a)(-23-2a)

Ligeledes i den anden ligning? Igen jeg ved ikke om det er mig der ser forkert, men burde det ikke at sådan ud ifølge den tredje kvadratsætning??

#12

Nej, det skal det ikke. Det er kvadratsætningen

A² - B² = (A+B)(A-B)

man benytter. Derved fås

(3-a)² - (26-a)² = (3-a + 26-a)·(3-a -(26-a)) = (3-a + 26-a)·(3-a-26+a)

Man hæver jo en minusparentes og skal så ændre fortegn på hvert led inde i parentesen (26-a) .

#13

#12

IIIhh, hvorfår havde jeg ikke tænkt på det?? Men mange tak igen. Jeg vil kigge på det en ekstra omgang igen

#9

Nu har jeg to spørgsmål igen. Nu er jeg kommet til den sidste del hvor man isolere a og indsætter det i cirkelensligning:

Spørgsmål 1:
Hvordan kommer du fem til 145:
((145/23) - (13/23)b^)2 + (38-b)^2 = 252

Spørgsmål 2:
Er det nedestående en forstættelse eller en anden fremgangamåde. Og igen mange gange tak fordi du gider at hjælpe! 


Her er en alternativ fremgangsmåde.

Cirklens centrum C ligger på midtnormalen for liniestykket AB. Midtpunktet M for liniestykket AB har koordinaterne

M((3+26)/2 ; (38+25)/2) = M(14,5 ; 31,5)

Afstanden |AM| er lig med (1/2)·|AB|, dvs

|AM| = (1/2)·√((3-26)²+(38-25)²) = (1/2)·√698 .

Afstanden fra M til cirklens centrum findes af Pythagoras:

|MC| = (25² - |AM|²)^1/2 = √450,5 .

En retningsvektor til midtnormalen er tværvektoren til AB, dvs AB^{^} = [23 ; -13]^{^} = [13 ; 23] .

En stedvektor til cirklens centrum C er da vektoren

OC = OM + |MC|·AB^{^} / |AB| = OM + √(450,5/698) · AB^{^}

      = [14,5 ; 31,5] + √(450,5/698) · [13 ; 26]

      = [24,944 ; 49,978]

 

#15

Det er ikke nødvendigt at gentage ordlyden i et tidligere indlæg. En henvisning til indlæggets nummer er som regel tilstrækkeligt.

Indlægget i #9 har jo netop overskriften "en alternativ fremgangsmåde", og det er ment som sådan. Ved at benytte kendte geometriske principper, finder man koordinaterne for cirklens centrum i #9.

For at vende tilbage til dit Spm 1. indsætter man

a = (13/23)b - (76/23)

i ligningen

(3 - a)² + (38 - b)² = 25² , dvs.

(3 - (13/23)b + (76/23))² + (38-b)² = 25²

og så reducere den første parentes

((3·23+76)/23 - (13/23)b)² + (38-b)² = 25² , dvs.

((145/23) - (13/23)b)² + (38-b)² = 25²

#16

#15

Det er ikke nødvendigt at gentage ordlyden i et tidligere indlæg. En henvisning til indlæggets nummer er som regel tilstrækkeligt.

Indlægget i #9 har jo netop overskriften "en alternativ fremgangsmåde", og det er ment som sådan. Ved at benytte kendte geometriske principper, finder man koordinaterne for cirklens centrum i #9.

For at vende tilbage til dit Spm 1. indsætter man

a = (13/23)b - (76/23)

i ligningen

(3 - a)² + (38 - b)² = 25² , dvs.

(3 - (13/23)b + (76/23))² + (38-b)² = 25²

og så reducere den første parentes

((3·23+76)/23 - (13/23)b)² + (38-b)² = 25² , dvs.

((145/23) - (13/23)b)² + (38-b)² = 25²


Jeg har tænkt at lave fællesnævner så det blev sådan her:
(3*23)/23 - 76/23 men det er desvæære ikke desværre ikke det samme som (145/23)


Efter man har isoleret både a, er jeg ikke helt med på hvad man skal. 

#16

23a = 13b - 76
a = (13/23) - (76/23)

13b = 76 + 23
b = (76/13) + (23/13a)

Nu sætter man a og b ind i ciklens ligning:

Punkt A:
(3 - a)^2 + (38 - b)^2 = 252
(3-(145/23)b)^2 + (38 - (76/13) + (23/13)a)^2

Er gået i stå igen, kan du hjælpe mig videre?

#17, #18

Man skal jo reducere ligningen

((145/23) - (13/23)b)² + (38-b)² = 25²

til

((13/23)² + 1)·b² -2·(38 + (145·13/23²))·b + (145/23)² + 38² - 25² = 0

hvorefter man kan bestemme rødderne.