e^x

Funktionen er sin egen afledede

Er invers funktion til den naturlige logaritmefunktion

        først og fremmest er den interessant
        fordi for
                             f(x) = e^x
        er
                             f '(x) = e^x

        e^x - den naturlige eksponentialfunktion - er altså identisk med sin egen afledede,
               hvilket er særdeles bekvemt _{(naturligt at benytte sig af)}

        Alle andre potenser er defineret ud fra e^x og dens naturlige inversfunktion ln(x)

        a^x = e^x•ln(a)   a>0

                             g(x) = a^x = e^x•ln(a)

                             g '(x) = ln(a)•e^x•ln(a) = ln(a)•a^x

        og
                             ∫ a^x dx = (1/ln(a)) • a^x + k

        Eksponentalfunktioners differentiation

                            f(x) = b•e^kx

                            f '(x) = k • f(x)

       hvorfor
                            dy/dx = k•y
       har
       løsningen
                            y = C•e^kx

       Så e^x et uundværligt værktøj i differental- og integralregning.

Tallet e ≈ 2,71828 spiller en helt grundlæggende rolle i matematikken, fordi det bl.a. er grænseværdien for udtrykket:

(*)lim_n→∞(1+ (1/n))ⁿ, som  optræder i utallige sammenhænge - se f.eks. her.

Når du skal bestemme grænseværdien for differentialkvotienten til logaritmen med grundtal e får du:

lim_h→0(log_e(x₀+h) - log(x₀))/h = lim_h→0(1/h)log_e(1 + h/x₀) =(1/x₀) lim_u→0log_e(1 + u)^1/u, hvor u = h/x₀.

Her optræder igen formen (*), så du får: lim_h→0(log_e(x₀+h) - log(x₀))/h = (1/x₀)log_e(e) = 1/x₀*1 = 1/x₀