HJÆLp (konverger)

a)  Brug kvotientkriteriet.

Da rækken ∑a_n har positive led og er konvergent, må det gælde at a_n+1/a_n ≤ k < 1. For rækken ∑a²_n  giver samme kriterium følgende:

a²_n+1/a²_n  = (a_n+1/a_n)² ≤ k² som (da k < 1) også må være < 1. Derfor er denne række også konvergent.

a) Nu vælger jeg at gå ud fra at du har et kursus i matematisk analyse, og ikke i calculus. Se om du ikke har et lemma, eller en opgave i har lavet tidligere, der giver dig at de første endeligt mange led i sådan en uendelig sum ikke har nogen indflydelse på konvergensforholdne for summen, og udnyt dernæst at a_n går mod 0, for n gående mod uendelig, såfremt at ∑a_n er konvergent. 

EDIT: Kvotientkriteriet kom mig i forkøbet ser jeg. Det er klart den mest elegante løsning, såfremt at positiv betyder skarpt positiv (a_n>0 for alle n). Hvis ikke er resultatet stadig sandt, men det kræver en overvejelse.

b) 

Her ville jeg betragte noget "harmonisk".

#1
"Da rækken ∑an har positive led og er konvergent, må det gælde at an+1/an ≤ k < 1". Så, det ræssonement der holder ikke. Betragt fx rækken ∑1/n^2. Da gælder at a_{n+1}/a_n går mod 1 for n gående mod uendelig, men den er ikke destomindre konvergent.

#3

Nu kommer du med et eksempel hvor der er konvergens selv om kvotientkriteriet ikke gælder. OK, så bruger jeg rodkriteriet:

"Rækken med positive led ∑a_n er konvergent, hvis der findes et positivt tal k < 1 således at

ⁿ√a_n  ≤ k for n ≥ N"

Dette er tilfældet her da den betragtede række er forudsat konvergent.

Rodbetingelse er ensbetydende med a_n ≤ kⁿ  hvor k < 1. For rækken ∑a²_n bliver kriteriet a_n ≤ k^n/2 for n ≥ N, som, da k < 1, er tilstrækkeligt til at vise at rækken er konvergent. (Tror jeg nok).

Dette kriterium ses også at gælde for rækken ∑1/n². (1/n⁴ bliver hurtigt meget mindre end 1/n²). Man kan endda se at den harmoniske række, som er divergent, bliver konvergent når leddene kvadreres.

Igen holder argumentet logisk set ikke. Lad P betegne udsagnet at der findes et positivt k<1, og N>0 således at ⁿ√a_n ≤ k for n≥N, og lad Q betegne udsagnet ∑a_n er konvergent. Da giver rodkriteriet ganske rigtigt at P=>Q, men du benytter implikationen Q=>P, og den implikation holder ikke. Men det var givet vis ikke logiske implikationer opretteren ville have hjælp til, så jeg tror bare jeg stopper nu. Lad det også være sagt at jeg personligt ikke ser en anden vej end en afart af det bevis jeg skitserede ovenfor.