Matematik
Tangenter i sirkel
I et koordinatsystem i planen er en linje l bestemt ved, at den har punkterne A(1,3) og B(5,-5). Cirklen C har centrum i midtpunktet af linjestykket AB og har radius √20.
Bestem en ligning for linjen l, og bestem en ligning for cirklen C.
Cirklen C har to tangenter, som er paralelle med linjen l.
Bestem en ligning for hver af disse tangenter.
Jeg har fundet ligningerne for l og C, men hvordan finder jeg ligningerne af tangenterne? Jeg ved, at de er paralelle med hinanden, så de har det samme ax, men hvordan finder jeg så b i y=ax+b?
Svar #1
28. februar 2013 af mathon
C = ((1+5)/2 ; (3+(-5))/2) = (3;-1)
cirkelligning:
(x-3)2 + (y+1)2 = (√20))2
Svar #2
28. februar 2013 af mathon
ligningen for linjen gennem A og B
y = -2x + 5
implicit differentiation af
(x-3)2 + (y+1)2 = 20
giver
2(x-3) + 2(y+1)•(dy/dx) = 0
hvoraf
x - 3
dy/dx = - ------ = -2
y + 1
Svar #3
28. februar 2013 af Runiharaldson (Slettet)
#2
Det har jeg allerede og det fik jeg til at blive y= -2x+5.
Så ved jeg, at tangeterne har a=-2.
Men hvordan finder jeg så b for tangeterne?
Svar #4
28. februar 2013 af mathon
tilføjelse
x - 3
dy/dx = - ------ = -2
y + 1
y = -1 ± √(20 - (x-3)2)
øvre halvcirkel y = -1 + √(20 - (x-3)2)
nedre halvcirkel y = -1 - √(20 - (x-3)2)
Svar #5
28. februar 2013 af Andersen11 (Slettet)
Linien L gennem punkterne A og B har vektoren AB = [4 , -8] = 4·[1 , -2] som retningsvektor og har derfor dens tværvektor AB^ = 4·[2 , 1] som normalvektor . Linien L har derfor ligningen
2x + y + c = 0 ,
hvor c afpasses, så punktet A(1,3) ligger på linien, dvs. c = -2·1 -3 = -5 .
En normeret form for liniens ligning er da
(2/5)·(√5)·x + (1/5)·(√5)·y - √5 = 0 .
De to tangenter til cirklen parallelle med L skal ligge i en afstand fra L lig med cirklens radius √20 = 2·√5 . De har defor ligningerne
(2/5)·(√5)·x + (1/5)·(√5)·y - √5 ± 2·√5 = 0 , eller
2x + y -5 ± 10 = 0 , dvs
2x + y -15 = 0 eller 2x + y + 5 = 0
Svar #6
28. februar 2013 af mathon
dvs
tangenten med hældningstal -2
til øvre halvcirkel
kræver
3 - x
dy/dx = --------------- = -2
√(20 - (x-3)2)
hvoraf
x = 7
og dermed
y = -1 + √(20 - (7-3)2) = 1
dvs røringspunkt
Røvre = (7,1)
tangenten med hældningstal -2
til nedre halvcirkel
kræver
x - 3
dy/dx = --------------- = -2
√(20 - (x-3)2)
hvoraf
x = -1
og dermed
y = -1 + √(20 - ((-1)-3)2) = -3
dvs røringspunkt
Rnedre = (-1,-3)
Svar #7
28. februar 2013 af mathon
tangenten med hældningstal -2
til øvre halvcirkel
y - 1 = -2(x-7)
y = -2x + 15
tangenten med hældningstal -2
til nedre halvcirkel
y + 3 = -2(x+1)
y = -2x - 5
Svar #8
01. marts 2013 af mathon
eller
parallel med
2x + y - 5 = 0
betyder med normalvektor n = [2,1] med længden |n| = √(5)
og dermed med ligningen
2x + y + c = 0
set fra den ene af de søgte cirkletangenter t1
ligger C(3,-1) i den positive halvplan set i forhold til normalvektor n = [2,1]
hvorfor afstanden regnet med fortegn
giver
dist(t1,(C(3,-1))) = (2•3 +(-1) + c1) /√(5) = 2√(5)
dvs
5 + c1 = 10
c1 = 5
t1's ligning er
derfor
2x + y + 5 = 0
y = -2x - 5
set fra den anden af de søgte cirkletangenter t2
ligger C(3,-1) i den negative halvplan set i forhold til normalvektor n = [2,1]
hvorfor afstanden regnet med fortegn
giver
dist(t1,(C(3,-1))) = (2•3 +(-1) + c2) /√(5) = -2√(5)
dvs
5 + c1 = -10
c1 = -15
t2's ligning er
derfor
2x + y - 15 = 0
y = -2x + 15
Skriv et svar til: Tangenter i sirkel
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.