Riemann integralet

Udtrykket

∑ⁿ_i=1 f(i/n)·(1/n)

er jo en middelsum for den kontinuerte funktion f(x) på intervallet [0;1] svarende til intervalinddelingen
x_i = (i/n) , 1 ≤ i ≤ n . Finheden af intervalinddelingen er D = Δx = 1/n . Derfor konvergerer  ∑ⁿ_i=1 f(i/n)·(1/n)  mod integralet ₀∫¹ f(x) dx for n → ∞ .

Man benytter så resultatet til at approksimere integralet

₀∫¹ 1/(1+x²) dx = Arctan(1) = π/4

Derved finder man

₀∫¹ 1/(1+x²) dx ≈ ∑ⁿ_i=1 1/(1 + (i/n)²) · (1/n) = ∑ⁿ_i=1 n²/(n² + i²) · (1/n) = ∑ⁿ_i=1 n/(n² + i²) ,

hvorfor

∑ⁿ_i=1 n/(n² + i²) → π/4 for n → ∞

#1

Så vidt jeg husker, jeg lærte i gymnasiet at

_a∫^b f(x) dx = _i=1∑ⁿ f(a + ((b-a)/n)i)·(b-a)/n  for  n → ∞

Man ser i dette tilfælde, at [a, b] = [0, 1], derfor har man

₀∫¹ f(x) dx = _i=1∑ⁿ f(i/n)·(1/n)  for  n → ∞

Så ved jeg nu ikke, hvordan jeg ellers skal forklare "omhyggeligt" baseret på den ønskede sætning.

#2

Kan det lade sig gøre at dette udtryket

_i=1∑ⁿ n/(n² + i²)

kan omskrives videre i forskellige dele, så at jeg kan finde grænseværdien for det for n gående mod uendelig? Eller menes der så, at den venstre side af pilen skal være opstillet i Riemanns integral og højre side af pilen være opstillet i den moderne integral, dvs bestemt integral?

#3

Det er forkert at skrive det som du gør:

_a∫^b f(x) dx = _i=1∑ⁿ f(a + ((b-a)/n)i)·(b-a)/n for n → ∞

eller

₀∫¹ f(x) dx = _i=1∑ⁿ f(i/n)·(1/n) for n → ∞

Der gælder

∑ⁿ_i=1 f(a + ((b-a)/n)i)·(b-a)/n → _a∫^b f(x) dx  for n → ∞ .

I spm 6(b) benytter man jo netop, at ∑ⁿ_i=1 n/(n² + i²) er en middelsum for integralet ₀∫¹ 1/(1+x²) dx , som man kan beregne, hvorfor summen konvergerer mod integralet.

#4

Hmm, okay mange tak for påmindelsen og hjælpen.

Jeg har et andet problem. Findes der en enkel måde at vise,

∫ 1/(1+x²) dx = arctan(x) + K ?

#6

Ja, ved at vise, at (Arctan(x))' = 1/(1+x²) .

For funktionen f(x) = tan(x) gælder der, at

f '(x) = (sin(x) / cos(x))' = (cos²(x) + sin²(x)) / cos²(x) = 1 + tan²(x) .

Der gælder da om den inverse funktion, at

(f^-1(x))' = 1/(f '(f^-1(x))) ,

der med f(x) = tan(x) giver

(Arctan(x))' = 1 / (1 + tan²(Arctan(x))) = 1 / (1+x²)

Hvis jeg altså skal benytte formlen som der står i bogen, (formler uddraget)  

"y₀ = f(x₀)   og   (f^-1)'(y₀) = 1/f '(x₀)"

Så har vi i dette tilfælde, at y₀ = tan(x₀), så er x₀ = arctan(y₀) derfor

(arctan(y₀))' = 1/(tan(x₀))' = 1/(1 + tan²(x₀)) = 1/(1 + tan²(arctan(y₀))) = 1/(1 + y₀²)

Hvad gør jeg? Det ser lidt forvirret ud, hvis man bruger denne formel i bogen frem for dit eksempel.

Skal jeg ombytte y₀ med x₀?

#8

Det er jo samme fremgangsmåde med x₀ = Arctan(y₀) .