Mængder

Man har

A \ B = { x ∈ M | x ∈ A ∧ x ∉ B } ,

B = { x ∈ M | x ∉ B } ,

A = { x ∈ M | x ∈ A }, og dermed

A ∩ B = { x ∈ M | x ∈ A } ∩ { x ∈ M | x ∉ B } = { x ∈ M | x ∈ A ∧ x ∉ B } = A \ B

Eventuelt kan man vise, at

x ∈ A \ B ⇒ x ∈ A ∩ B

og

x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A \ B

Okay, så er jeg med. Er følgende opgave, så regnet rigtig ud?:

A og B er stadig delmængder af mængde M ...(∅ er den tomme delmængde)

(( A \ B ) U ( A ∩ B )) \ A = ∅

Hvor:

A \ B = { x ∈ M | x ∈ A ∧ x ∉ B } ,

A ∩ B = { x ∈ M | x ∈ A } ∩ { x ∈ M | x ∈ B } = { x ∈ M | x ∈ A ∧ x ∈ B } ,

Så er:

(( A \ B ) U ( A ∩ B )) \ A = ( { x ∈ M | x ∈ A ∧ x ∉ B } U { x ∈ M | x ∈ A ∧ x ∈ B }) ∩ ({ x ∈ M | x ∈ A})

Ganger man den sidste parentes ind i begge led, får man:

({ x ∈ M | x ∉ B }) ∩ ({ x ∈ M | x ∈ B }) = hvilket giver Ø

Det sidste afsnit, fra "Så er: ..." er ikke korrekt.

Man burde kunne se, at

( A \ B ) U ( A ∩ B ) = { x ∈ M | x ∈ A ∧ x ∉ B } U { x ∈ M | x ∈ A ∧ x ∈ B }

                                  = { x ∈ M | x ∈ A } = A

Dermed er

(( A \ B ) U ( A ∩ B )) \ A = A \ A = Ø

Aha, det gav bedre mening. Hvad så, hvis man har 3 faktorer at tage højde for? Lad os sige:

B U (C \ (A ∩ B)) = B U C

Hvor:

A ∩ B = { x ∈ M | x ∈ A ∧ x ∈ B } 

(C \ (A ∩ B) =  (C \ A) U (C ∩ B) = { x ∈ M | x ∈ C ∧ x ∉ B } U { x ∈ M | x ∈ C ∧ x ∈ B } = { x ∈ M | x ∈ C } = C

- Så bliver:

B U (C \ (A ∩ B)) = B U C

Er det korrekt? :)

Det simpleste er måske at se på et mængdelogisk diagram

Det, der er i C, men ikke i fællesmængden for A og B er hele C undtagen området "111", dvs. områderne "101", "011" og "001" i forening. Når man så forener det med hele B, får man det tilbage, der blev udelukket, så

B U (C \ (A ∩ B)) = B U C