stamfunktion til 1/x

Du roder begreberne sammen. Der er ikke tale om at logaritmen har en stamfunktion for negative x, men om at funktionen (1/x) har en stamfunktion for negative x.

Det følger af sætningen for differentialkvotienten af en omvendt funktion, at (ln(x))' = (1/x) for x > 0 . Deraf følger også, at

∫ (1/x) dx = ln(x) + k = ln(|x|) + k, for x > 0

. For x < 0 er -x > 0 og dermed er 1/(-x) > 0 og vi har

∫ (1/x) dx = ∫ (1/(-x)) d(-x) = ln(-x) + k = ln(|x|) + k , for x < 0 .

Derfor kan vi generelt, for x ≠ 0, skrive

∫ (1/x) dx = ln(|x|) + k

hov jeg mente at 1/x har en stamfunktion for negative x. Det er da mærkeligt da logaritmen ikke er defineret for negative x? Og jeg synes det er mærkeligt med ln(lxl), for så er ln(x)=ln(-x) så arealet under grafen fra f.eks. 0 til -3 er den samme som fra 0 til 3. Men kigger man på graferne burde de være minus hinanden?

#2

Du har tilsyneladende slet ikke forstået, hvad jeg skrev i #1.

Hvis du fortolker integraler som arealer, skal du gøre det korrekt.

Eftersom hverken (1/x) eller ln(|x|) er defineret for x = 0, er det noget vrøvl at tale om integraler, der involverer 0 som en grænse.

Der er ingen modstrid, når man laver betragtningerne korrekt. For eksempel har man

_-5∫^-3 (1/x) dx = [ ln(|x|) ]^-3_-5 = (ln(3) - ln(5) = ln(3/5) < 0 ,

mens

₃∫⁵ (1/x) dx = [ ln(|x|)53 = ln(5) - ln(3) = ln(5/3) = -ln(3/5) > 0.

Det er kun, hvis der gælder f(x) ≥ 0 for alle x ∈ [a;b}, at integralet _a∫^b f(x) dx kan fortolkes som et areal under grafen for funktionen f(x).