Epsilon delta

Man bruger det for eksempel ved definitionen af kontinuitet for en reel funktion. Der er tale om en definition, som man så benytter efterfølgende i forskellige sammenhænge.

∀ε∈R₊ ∃δ∈R₊: ∀x∈R: |x - x₀| < δ ⇒ |f(x) - f(x₀)| < ε

er således den klassiske (Weierstrass) definition på, at funktionen f er kontinuert i x₀ .

Løst sagt: hver gang man vælger en (lille) omegn   ω(f(x₀) , ε)   af finhed ε omkring f(x₀) , så findes der en omegn   ω(x₀ , δ)   af en vis finhed δ omkring x₀, så at

f(ω(x₀ , δ))  ⊂  ω(f(x₀) , ε)

Dette sikrer, at funktionsværdierne ikke springer i en omegn af x₀ .

Man bruger dette til at udvikle forskellige redskaber, der for forskellige klasser af funktioner letter undersøgelsen af kontinuitet eller andre lignende egenskaber.

Her i denne video, http://www.youtube.com/watch?v=wpTWiu9AoZo fra 2:50 til 3:05, hvor manden lader δ≤ 1. Jeg forstår ikke hvorfor han har valgt netop denne værdi. Kan du forklare mig det? Jeg har forstået hans fremgangsmåde, hvor han ønsker at "bevise" ud fra denne definition. 

x² → 4 for x → 2. Hvis 0 < |x - 2| < δ så |x² - 4| < ε

|x² - 4| < ε er det samme som ved 3. kvadratsætning, at |x - 2||x + 2| < ε. Men efter det forstår jeg ikke hans forklaring omkring "stipulate δ≤ 1."

#2

Jeg har ikke mulighed for at se den video lige nu. Men jeg var selv i gang med at vise, at funktionen f(x) = x² er kontinuert i x₀ . Lad os se på

|f(x) - f(x₀)| = |x² - x₀²| = |x-x₀|·|x+x₀| .

Hvis |x-x₀| < δ , er -δ < x-x₀ < δ , og 2x₀-δ < x+x₀ < 2x₀+δ , og derfor er |x+x₀| < 2|x₀|+δ , så

 |x-x₀|·|x+x₀| < 2|x₀|·δ + δ² .

Hvis vi ønsker, at |f(x) - f(x₀)| skal være mindre end et forelagt ε , kan vi derfor søge at løse uligheden

2|x₀|·δ + δ² < ε

som ulighed i δ . Ligningen 2|x₀|·δ + δ² = ε har rødderne δ = -|x₀| ± √(|x₀|²+ε) , så hvis vi sørger for, at

0 < δ < -|x₀| + √(|x₀|²+ε) ,

vil der gælde |f(x) - f(x₀)| < ε , for alle x, hvor |x - x₀| < δ .

Dermed har vi vist kontinuitet af f(x) = x² i x₀ .

#3

Mange tak for den uddybende forklaring. Ved du forresten om hvornår man bruger Trekants- og Cauchy-Schwarz' uligheden til dette område?

#4

Begge uligheder finder anvendelse ved en vurdering af størrelser opad. Ovenfor benyttede jeg trekantsuligheden.