Bevis en påstand

Du skal bruge en bestemt metode kaldet induktion. Vis at den gælder for n = 1 og at hvis den gælder for n, så gælder den også for n+1

Jfr. #1:

Relationen holder for n=1: 

Antag at relationen holder på trin n

Vis, at så holder den også for trin n+1:

Begynd med den udviddede sum:

Peter lind - Tak. Jeg fik læst om metoden, så blev det en del lettere at forstå. 

lfdahl - Hvordan kommer du frem til din første sætning i "Begynd med den udviddede sum"? Du plusser n + (n+1)?

#3

Man antager, at p(n) er sand og viser så, at p(n+1) er sand.

Man ser på udtrykkets venstreside for n+1. Det er

1/(1·2) + 1/(2·3) + ... + 1/(n(n+1)) + 1/((n+1)·(n+2))

De første n led er venstresiden i udtrykket for n, og da vi antager at formlen p(n) er sand for n, har vi derfor, at

1/(1·2) + 1/(2·3) + ... + 1/(n(n+1)) + 1/((n+1)·(n+2))

                = 1 - 1/(n+1)    +      1/((n+1)·(n+2))         ( forlæng de to brøker til fælles nævner)

                = 1 + [- (n+2) + 1] / ((n+1)(n+2))

                = 1 + (-(n+1)) / ((n+1)(n+2))

                = 1 - 1/(n+2) = 1 - 1/((n+1)+1)

hvormed vi har vist, at p(n+1) er sand.

Okay, er det så samme metode, man skal bruge for at beregne følgende:

Vis at nn−3 ≥ n! for n = 9, 10, ...

Jeg ved at fakultet n! er:

n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3)...

- Siger man så:

(n+1)^n+1-3 ??

#5

Måske mener du, at man skal vise, at

p(n): n^n-3 ≥ n! , for n ≥ 9 ?

Start med at vise p(9), dvs at 9⁶ ≥ 6! . Det er sandt, da 531441 ≥ 362880 .

Antag nu, at p(n) er sandt, og vis så p(n+1). Vi har

(n+1)^n+1-3 = (n+1)·(n+1)^n-3 > (n+1)·n^n-3 > (n+1) · n! = (n+1)!

Dermed er p(n+1) vist.

Hvordan når du frem til:

(n+1)^n+1-3 = (n+1)·(n+1)^n-3 > (n+1)·n^n-3 > (n+1) · n! = (n+1)!  

første lighedstegn Bruger at aⁿ⁺¹ = a*aⁿ

første ullighedstegn bruger at n+1 > n

andet ulighedstegn  bruger induktionsforudsætningen

Sidste lighedstegn  Bruger definitionen af n!

Du kan godt regne de ud for n=10; men så gælder det kun for n=10

NB!!!!

10⁷≠ 10!  

10000000 ≠ 3628800.

#9

Induktionen består af to dele. Dels viser man, at p(n) ⇒p(n+1) , altså, at hvis p(n) er sandt, så er p(n+1) sandt. Dels viser, man at p(n) faktisk er sandt for et bestemt n₀ . Når p(n) ⇒p(n+1) er vist, har man så af induktionsteoremet, at p(n) er sandt for alle n ≥ n₀ .

For udsagnet

p(n): n^n-3 ≥ n!

viser man at p(9) er sandt. Man har 8^8-3 = 8⁵ = 32768 , og 8! = 40320 , så p(8) er falsk. n = 9 er derfor det mindste n, for hvilket p(n) er sandt.

Summen er teleskoperende.. Er det ikke nemmere bare at gøre det sådan frem for at trække hele induktionsmaskinen frem? :)

idet 1/(k*(k+1)) = 1/k-1/(k+1) fås

(1/(1*2)) + (1/(2*3)) + (1/(3*4)) +...+ (1/(n(n+1))) = (1/1-1/2) + (1/2-1/3)) + (1/3-1/4)) +...+ (1/n-1/(n+1))

og da alle led bortset fra 1/1 og 1/(n+1) hver bliver lagt til en gang og trukket fra en gang, så forsvinder de, og resultatet bliver 1-1/(n+1)...

#12

Jo, det er klart en mere direkte måde at vise det på.