Matematik
enhedscirklen
I min bog har jeg en opgave, som ser ud til at give dyb indsigt, men jeg kan ikke rigtig komme i gang med den, så måske kan I lede mig på vej :)
Opgaveteksten lyder:
"Vi ved at enhedscirklen er kurve med r'(t)≠0 (i vektornotation!). I denne opgave vil vi lade som om, vi aldrig før har hørt om trigonometriske funktioner. Men vi ved ud fra abstrakte principper, at der må findes en naturlig parameterfremstilling (skal nok forklare ordet om lidt) r(t)=(C(t),S(t)). Vi vil indkredse hvad man kan sige om koordinatfunktionerne alene på denne baggrund."
En naturlig parameterfremstilling er en fremstilling hvor parameteren på nær en konstant er lig buelængden fra et fast kurvepunkt til et løbende punkt (hvad er den generelle sprogbrug for denne særlige type parameterfremstilling?).
Jeg skal i hvertfald vise, at r(t) er uendelig gange differentiabel og at C(t)2+S(t)2=1.
Jeg er ikke helt sikker på hvad jeg må bruge her. Jeg går ikke ud fra, at jeg skal udtrykke C og S som punkter på enhedscirkelen og så bruge pythagoras til at vise, at ovenstående giver 1. Snarere vil jeg tro, at jeg skal bruge noget om, at parameteren specificerer buelængden til at sige det, men jeg er ikke sikker.
Og for at vise at parameterfremstilling er uendelig gange differentiabel er jeg vel nødt til at opskrive et parametrisering af enhedscirklen, eller kan det sluttes direkte ud fra eksistensen af en naturlig parameterfremstilling?
Svar #1
04. april 2013 af Andersen11 (Slettet)
Da punktet (C(t) , S(t)) er et punkt på enhedscirklen, gælder der
C(t)2 + S(t)2 = 1
Da r(t) = (C(t) , S(t)) er en naturlig parameterfremstilling, gælder der endvidere
C'(t)2 + S'(t)2 = 1 ,
dvs. kurven gennemløbes med konstant fart 1 .
Da C(t)·C'(t) + S(t)·S'(t) = 0 , er hastigheden v(t) altid vinkelret på r(t) .
Da C'(t)·C''(t) + S'(t)·S''(t) = 0 , er accelerationen a(t) altid vinkelret på v(t) . Accelerationen a(t) og stedvektoren r(t) er derfor parallelle.
Endvidere er
C'(t)2 + C(t)·C''(t) + S'(t)2 + S(t)·S''(t) = 0 ,
hvorfor
C(t)·C''(t) + S(t)·S''(t) = - (C'(t)2 + S'(t)2) = -1 .
Da vektorerne a(t) og r(t) er parallelle, gælder der
|a(t)•r(t)| = |a(t)| · |r(t)| = |a(t)| = |-1| = 1 ,
hvoraf vi ser, at a(t) = -r(t) , og vi har dermed vist, at
C''(t) = -C(t) , og S''(t) = -S(t) .
Enhedscirklen er en kurve med den konstante krumning 1. Heraf følger, at der må gælde
C(t)·S'(t) - S(t)·C'(t) = 1 .
Skriv et svar til: enhedscirklen
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.