Matricers egenvektorer

Løs ligningen

A x = -7x

Jo, -7 er en egenværdi for A .

Man skal løse ligningen A*x = -7*x. Ligningen vil have uendelig mange løsning.  I det specielle tilfælde er det nemt at se  (0, 0, 1) er egenvektor. sidste søjle og række er nemlig kun forskellig fra 0 i a₃₃

Har matricen ikke tre egenværdier: λ=-7 ∧ λ=-8 ∧ λ=24?
Det er hvad jeg har regnet mig frem til, og hvad matematikprogrammet Maple har fået det til?

#3

Det var min fejl. Jeg har rettet det i #1.

Okay, tak - jeg prøver :-)

De tre tilhørende egenvektorer (søjlevis for λ = -8, 24 hhv. -7) er:

- 0.9743912  - 0.7071068    0  
  0.2248595  - 0.7071068    0  
           0                 0            1.

Jeg har desværre brug for yderligere hjælp :-( 

Jeg har lært følgende metode til at finde egenvektorerne, hørende til matricen A:
 

A - λ*E


Hvor E er enhedsvektoren. Hermed får jeg, for egenværdien -7 matricen:

                  5    26    0
A +7*E =    6    25    0
                  0    0      0

Men herfra kan jeg ikke finde ud af hvad jeg skal gøre? :s

Du kan se løsningen på #2. Der du skal lægge mærke til her at sidste række og sidste søjle er 0 så du faktisk har 2 ligninger med 2 ubekendte x1 og x2 og en ligning med 1 ubekendt. Determinanten for de 2 første er forskellig fra 0 så eneste mulig løsning er at x1=x2=0. x3 kan være hvadsomhelst så samtlige løsninger kan skrives som (0, 0, t) = t*(0, 0 1)

Prøv at løse ligningen: A x = -8 x

 Man får: 

-2x₁ + 26x₂ = -8x₁ ⇒ 6x₁ = -26x₂  ⇒ x₁ = -(13/3)x₂

6x₁ + 18x₂ = -8x₂  ⇒ 6x₁ = -26x₂   ⇒ x₁= -(13/3)x₂

         -7x₃ = -8x₃ ⇒   x₃ = 0 

Lad x₂ = 1, så er x₁ = -13/3 og x₃ = 0

Vektoren: v = t(-13/3, 1, 0) er for alle t ≠ 0 en løsning til egenværdiligningen ovenfor.

Med t = 1 og normaliseringen: v ≡ v/√((-13/3)² + 1² + 0²) fås den normaliserede egenvektor i #6 i første søjle.

         v = (- 0.9743912,  0.2248595, 0)