Mat. fremlæggelse

Du skal benytte tretrinsreglen til at bestemme differentialkvotienten for funktionen f(x) = ax + b.

Opstil differenskvotienten for funktionen ud fra x₀ med tilvækst h, og vis, at differenskvotienten har en grænseværdi for h gående mod 0. Grænseværdien kaldes så differentialkvotienten for f(x) i x₀ .

Jeg har prøvet at læse noget om det i min bog matematik A2, men jeg forstår ikke det med tretrinsreglen? 

Du har din funktion som du skal differentiere

     f(x) = ax + b

1. trin: Du opskriver nu funktionstilvæksten (forskellen i de to funktionsværdier f(x₀) og f(x₀ + h)). Den er givet ved

     Δy = f(x₀ + h) - f(x₀) = a · (x₀ + h) + b - (ax₀ + b) = ax₀ + ah + b - ax₀ - b = ah

2. trin: Du opskriver nu differenskvotienten, som er funktionstilvæksten fra 1. trin divideret med den afstand (h), der er mellem de to vilkårlige punkter du har valgt - altså x₀ og x₀ + h. Herved finder du sekanthældningen mellem disse punkter (den rette linje, der går gennem begge punkter). Den er altså givet ved

     Δy / h = ah / h = a

3. trin: Du skal nu lade h gå mod 0. Når du gør dette vil de to punkter komme tættere og tættere på hinanden og til sidst falde sammen. Derved bliver sekanthældningen (stregen gennem to punkter) til tangenthældningen (stregen gennem ét punkt - altså x₀). Man skriver også 

     a_s  → a_t  for  h → 0

Du lader altså h gå mod 0.

     a → a  for  h → 0

Der ændres altså ikke ved noget fra 2. trin, idet der ikke indgår nogen h'er. Derved har vha. tretrinsreglen vist, at hvis

     f(x) = ax + b

så er

     f'(x) = a

:)

Tusind tak! :-) Det var et rigtig godt og forståeligt svar! 

Tilsidst når h går mod 0, hvad menes der så med at a går mod a for h går mod 0. hvodan beregner man at h går mod 0? :)

#5

Differenskvotienten indholder slet ikke h i udtrykket. Der er derfor ingen problemer med at lade h gå mod 0, da a forbliver lig med a, uanset hvad h er.

Ok, tak :-)