Konvergens for ln(x) i taylorrække

Hvad mener du med, at funktionen (ln(x))^k er konvergent eller divergent?

Du kan ikke opløfte hele rækken ved at opløfte hvert led for sig. Den går altså ikke.

Man kan lave Cauchy-multiplikation k gange, hvis k er et positivt heltal, men det bliver uoverskueligt.

Prøv i stedet at beregne de afledede af (ln(x))^k .

Jeg forsøgte i den anden tråd at foreslå at skifte variabel til t = ln(x) .

Hvad går opgaven egentlig ud på?

#1

Jeg skal vise hvilket tal af k for (ln(x))^k således at funktionen konvergerer og divergerer. Jeg testede, at funktionen konvergerer hvis k < 0, og divergerer hvis k > 0. Altså (*)

(ln(x))^k → 0 for x → ∞ hvis k < 0.

(ln(x))^k → ∞ for x → ∞ hvis k > 0.

Hvis du vil forstå hvorfor jeg gøre det, var min opgave om at vise med integralkriteriet, at rækken _n=2Σ^∞(ln(n))^p/n er konv. hvis p < -1, og div. hvis p > -1.

Her nåede jeg frem til lim_t→∞[(ln(t))^p+1/(p+1)] - [(ln(2))^p+1/(p+1)] ; hvorefter jeg ville fokusere på udtrykket  lim_t→∞(ln(t))^(p+1). 

Derfor har jeg ladet k = p + 1, og x = t. Jeg påstod fra (*), at den konv. hvis p + 1 < 0 dvs. p < -1 og div. hvis p - 1 > 0, dvs. p > -1. Men jeg blev nødt til at bevise om påstanden er korrekt ved brug af taylorrække, og det blev for kompliceret end jeg havde forventet. Er der andre enklere måde? Jeg håber du forstår hvad jeg mener.

#2

Eftersom ln(x) → ∞ for x → ∞ , drejer det sig så om, for hvilke k at t^k → 0 for t → ∞ , dvs for k < 0.

Integralkriteriet kan anvendes på denne opgave, hvis funktionen

f(x) = (ln(x))^p / x

er aftagende, dvs hvis f '(x) = p·(ln(x))^p-1 / x² - (ln(x))^p / x² < 0 , og talfølgen

∑^∞_n=2 (ln(n))^p / n

er konvergent, hvis integralet

₂∫^∞ f(x) dx = ₂∫^∞ (ln(x))^p / x dx = _ln(2)∫^∞ t^p dt eksisterer, dvs p < -1 .

#3,4

Det giver godt mening. Der er en ting jeg ikke forstår hvorfor opgaven siger at den divergerer hvis p > -1. Jeg mener at det skal være p ≥ -1. Kan du oplyse mig det?

Fordi jeg eksempelvis sammenligner det med at integralet ₁∫^∞1/x^p dx konv. for p > 1 og div for p ≤ 1.

Jeg tror det er alligevel lige meget. Jeg står fast med min konklusion, at den konv. for p < -1 og div. for p ≥ -1. Tak for din tid!
Jeg har desuden en anden opgave, der har med det her at gøre. Jeg skal vise at rækken _n=2Σ^∞ (ln(n))^x/n er uniformt konvergent for x∈]-∞, p] hvis p< -1. Skal jeg bruge Weierstrass kriteriet?

Hvis jeg skal benytte M-test (Weierstrass), så får jeg 

|ln(n)^x/n| = |ln(n)^x||1/n| ≤ |ln(n)|^x|1/n| ≤ 1/n.

Da ∑1/n ikke er konvergent, kan rækken for Σ (ln(n))^x/n ikke være uniform konvergent, hvilket er en fejl.

Eller hvis |ln(n)^x/n| ≤ |ln(n)|^x/n, kan man så anvende andre kriterier for at komme videre?

Hvis nej, hvad skal jeg gøre?

Kan du give mig en hint hvordan det skal besvares?