Matematik

Vektorregning

18. oktober 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Hvis længden af vektor a=2 og længden af vektor b=1, og vinklen mellem disse er 60 grader, så er skalarproduktet 1, men hvordan finder jeg længden af vektor 2a+b?

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Udnyt at

|2a+b|^2 = (2a+b)*(2a+b) =

4|a|^2 + 4a*b + |b|^2

Du kender alle de indgående størrelser.

Svar #2
18. oktober 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

bliver længden så: 4*2+4*1+1=13? Jeg synes det er tit i vektorregning, at man opløfter udtrykket i anden.

Svar #3
18. oktober 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

ville jeg i princippet ikke kunne bruge cosinus-realtionerne? Jeg har jo en trekant med sidelængde 4 og 1 og en vinkel på 60 grader?

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. oktober 2005 af fixer (Slettet)

#2 Der skal såmænd bare indsættes i udtrykket fra #1:

a*b = |a||b|cos(a,b)=2*1*cos(pi/3) = 1

derfor

|2a+b|^2 = 4*2^2 + 4*1 + 1^2 = 21

Altså er

|2a+b| = sqrt(21)

#3 Cosinusrelationerne kan anvendes, men den vinkel, du tror er 60 grader, kendes faktisk ikke.

Derimod kendes vinklen mellem vektoren 2a og b. Den er 180-60 = 120 grader (find selv ud af hvorfor ved en passende tegning). Kaldes denne vinkel C, er den modstående side c vektoren 2a+b. Vi søger netop længden af c. Af cosinusrelationen følger så

|c|^2 = (2|a|)^2+|b|^2-2(2|a|)|b|cosC =

(2*2)^2+1^2-2*(2*2)*1*(-½) =

16+1+4 = 21

altså atter

|c| = |2a+b| = sqrt(21)

Svar #5
18. oktober 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Ahh ok, ja, jeg havde antaget at vinkel C var 60 grader, men det var forkert. Vil vinklen mellem vektor 2a+b og vektor a så være lig med cos^-1((4.58/(2*sqrt(21))? Skalarproduktet 4.58 er fundet som cos(69)*2*sqrt(21).

Svar #6
18. oktober 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Svar #7
18. oktober 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Undskyld dobbelt-post.. blev lidt for ivrig.

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Vinklen B mellem vektoren 2a og 2a+b er bestemt af

cos(B) = (|2a|^2+|2a+b|^2-|b|^2)/(2|2a+b||2a|) =

(16+21-1)/(2*sqrt(21)*4)

d.v.s.

B = 10.89 grader

Svar #9
19. oktober 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Ahh ok, jeg forstår, men hvilken formel er det? Den jeg skrev op, vr cos(v) = (a*b)/(|a|*|b|)

Svar #10
19. oktober 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

-forresten så jeg lige, at det var vinklen mellem vektoren 2a+b og a, og ikke 2a.

Brugbart svar (0)

Svar #11
19. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Princippet i det du forsøger i #6 er ok. Men skalarproduktet mellem 2a+b og a er forkert.

Vinklen mellem vektoren 2a+b og a kan bestemmes af

a*(2a+b) = |a||2a+b|cos(2a+b,a) <=>

2|a|^2+a*b = |a||2a+b|cos(2a+b,a) <=>

cos(2a+b,a)=(2|a|^2+a*b)/(|a||2a+b|) (*)

Vinklen mellem 2a+b og 2a er præcist den samme. Prøv f.eks. som en øvelse at gennemgå de samme regninger og se at du når frem til (*).

En alternativ metode til at bestemme den samme vinkel er at anvende cosinusrelationen som i #8.

Svar #12
19. oktober 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Ja, det passer søreme. Mange tak skal du have. Der var ihvertfald nogle brikker der faldt på plads der!

Skriv et svar til: Vektorregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.