Matematik

Napiers logaritme

21. oktober 2005 af IBM (Slettet)

Sidder netop med Erik Vestergaards bog "En revolution i regnekunsten" og undrer mig meget. I bogen er Napiers logaritme givet ved:

log(nap)(x) = -10^7*ln(x/10^7)

Men fra flere kilder ved jeg, at Napiers logaritme er den naturlige logaritme defineret ved:

ln(x) = log(e)(x) =

x
S (1/t)dt
1

Er der en sammenhæng mellem de to uens definerede logaritmer?

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Hermed et par forklarende links:

http://www.arcula.demon.co.uk/bhist1.htm

http://mathforum.org/library/drmath/view/52469.html

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. oktober 2005 af sigmund (Slettet)

Jeg indleder med nogen citater:

"The natural logarithm, invented by John Napier, is the logarithm to the base e, where e is equal to 2.71828... (continuing forever as e is irrational, like [pi])." (*)

"The first definition of the logarithm was constructed by Napier and popularized through his posthumous pamphlet (Napier 1619). It this pamphlet, Napier sought to reduce the operations of multiplication, division, and root extraction to addition and subtraction. To this end, he defined the "logarithm" L of a number N by N=10^7*(1-10^(-7))^L written NapLog(N)=L." (**)

Det ser ud til at det første citat definerer Napiers logaritme som den naturlige logaritme, mens det andet citat definerer den på samme måde som Erik Vestergaard. Et opslag på google.com "afslører" at Napiers logaritme ofte bruges som synonym for den naturlige logaritme.

(*) http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm
(**) http://mathworld.wolfram.com/NapierianLogarithm.html

Svar #3
21. oktober 2005 af IBM (Slettet)

#2: Ja, det får jeg også ud af det, men hvordan kan den napierianske logartime anvendes som synomym for den naturlige logaritme, når de udregner forskellige værdier?

Svar #4
21. oktober 2005 af IBM (Slettet)

...Endvidere kan den napierianske logaritme ikke være en logaritme i nutidens forstand. Ved indsættelse af x=1 i log(nap)(x) = -10^7*ln(x/10^7) fås 161180956, men jf. produktreglen skulle den opfylde, at log(nap)(1) = 0.

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. oktober 2005 af fixer (Slettet)

#3-4 Napiers logartime har ikke noget grundtal og har i virkeligheden ikke meget med logaritmer at gøre. Hvis du gad læse linksene i #1 ville det stå mere klart.

Svar #6
21. oktober 2005 af IBM (Slettet)

Har et par spørgsmål til forklaringerne i første link.

Tabellen i linket viser den aritmetiske og den geometriske serie, hvor hvert tal i den geometriske serie er bestemt af:

100*(0,99)^n,

hvor n er de pågældene tals aritmetikse værdi.

Betegner Napier således bare en logaritme som et indextal, og hvordan stemmer det overens med Vestergaards udregnede funktion:

log(nap)(x) = -10^7*ln(x/10^7)

Det andet spørgsmål er til sammenhængen mellem e og den napierianske logaritme. Citat:

Napier produced his logarithms by repeatedly multiplying by 0.9999999. In effect he was calculating:

(1 - 1/10000000)^n

Jeg troede han betragtede sine logaritmer som indextal?

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Napier's tilgang til logaritmer var ikke algebraisk i natur. Han havde et dynamisk system i tankerne.

Han tænkte sig 2 vandrette liniestykker. Det ene liniestykke, AB, havde en endelig længde k. Det andet, uendelige liniestykke, havde A' som endepunkt (og altså kun dette ene endepunkt).

Han tænkte sig nu et punkt C på det endelige liniestykke og et punkt C' på det uendelige.

Punktet C starter til tiden t=0 med begyndelseshastigheden v0 i A og bevæger sig med en hastighed der er lig med afstanden BC. Betegn med x afstanden |BC|.

Punktet C' starter til tiden t=0 i A' ligeledes med begyndelseshastigheden v0 men bevæger sig med konstant hastighed. Betegn med y afstanden |A'C'|.

Napier definerede nu |A'C'| (=y) som logaritmen af |BC| (=x):

y = Nap.log(x)

Relationen til de sædvanlige logaritmefunktioner fremkommer ved følgende betragtninger.

Positionen s(t) af punktet C regnet fra A er s(t) = A-x. Til tiden t er dets hastighed dermed

ds/dt = -dx/dt

Idet punktets hastighed skal være er lig afstanden |BC|=x gælder dermed

dx/dt = -x (*)

Idet dets begyndelseshastighed er v0 er den fuldstændige løsning til (*)

x(t) = v0*exp(-t), t>0

En given position, x, nås derfor til tiden t bestemt ved den omvendte funktion

t(x) = -ln(x/v0), x>0

Partiklen C' bevæger sig med den konstante hastighed v0. Dets position, y, til tiden t er derfor

y(t) = v0*t, t>0

eller

y(t) = -v0*ln(x/v0)

Idet y er defineret som Nap.log(x) gælder derfor

Nap.log(x) = -v0*ln(x/v0) (**)

Bemærk nu, at når |BC|=x=k, altså når punktet C befinder sig i A, så er Nap.log(x) = |A'C'| = 0, thi til dette tidspunkt (t=0) befinder punktet C' sig i A'. Men af (**) følger så

0 = v0*ln(k/v0)

og dermed

v0 = k.

Således fås endelig

Nap.log(x) = -k*ln(x/k)

Napier valgte k = 10^7. Således er sammenhængen mellem Napier's og de moderne logaritmer.

Husk på, at Napiers egne logaritmeudregninger baseret på indekstal, er en approksimation til Nap.log(x). Han kunne jo ikke beregne ln(x). Approksimationen består i at Napier beskriver bevægelsen af punktet C på AB ved en geometrisk serie. Dette er ikke det samme som den bevægelse, den rent faktisk udfører.

Svar #8
21. oktober 2005 af IBM (Slettet)

Tak for svaret

Har lige et par spørgsmål. Du skriver:

"Idet punktets hastighed skal være er lig afstanden |BC|=x gælder dermed

dx/dt = -x (*)"

Det første: hvorfor bliver hastigheden negativ?

Det andet: Hvordan kan punktets hastighed til ethvert tidspunkt være lig x. Bevæger punktet sig ikke således, at hastigheden til ethvert tidspunkt er proportional med x, således at man i stedet for det du skriver skal skrive:

dx/dt = -cx,

hvor c er en konstant.

Brugbart svar (0)

Svar #9
22. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Hastigheden bliver ikke negativ. Vi har bestemt at hastigheden

ds/dt = -dx/dt

Men x=|BC| er aftagende, thi C bevæger sig fra A mod B. Ergo er dx/dt > 0.

Samtidigt ved vi, at hastigheden er defineret til at være lig x. Dette er det samme som at hastigheden er proportional med x, blot er din proportionalitetskonstant c = 1.

Svar #10
22. oktober 2005 af IBM (Slettet)

Nu kan det være jeg spørger dumt; jeg kan godt indse, at dx/dt > 0, men kan du forklare lidt mere grundigt, hvorfor:

ds/dt = -dx/dt

og hvorfor:

dx/dt = -x

Ovenover er dx/dt < 0.

Brugbart svar (0)

Svar #11
22. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Din tvivl er formodentligt foranledigt af en slåfejl i #9. Der skulle naturligvis have stået:

"Ergo er dx/dt

Spørgsmål 1:
------------
Positionen af punktet C på liniestykket AB regnet fra A kaldte jeg s(t). Idet

|AB| = |AC| + |CB| <=>

|AC| = |AB| - |BC|

har vi altså

s(t) = |AC|(t) = |AB|-|BC|(t) = k-x(t)

thi stykket |AB| er konstant lig k (se #7) og |BC| betegnedes med x. Den tidsaflede af s(t) er dermed

ds/dt = -dx/dt (*)

Spørgsmål 2:
------------
ds/dt repræsenterer hastigheden af partiklen C på liniestykket AB. Som nævnt i #7 krævede Napier at hastigheden skulle være lig med afstanden |BC|. Men der gælder jo netop definitionsligningen

x = |BC|

Altså kræver Napier

ds/dt = x (**)

Det følger nu direkte af (*) og (**) at

ds/dt = x = -dx/dt

Der er intet galt med fortegnene her. Idet C bevæger sig mod B vil x=|BC| aftage med tiden. Altså er dx/dt < 0. Højresiden er derfor positiv og venstresiden x>0 ligeså.

Svar #12
22. oktober 2005 af IBM (Slettet)

Ok, så

dx/dt = -x

fordi afstanden x aftager med tiden mens

y(t) = v0*t

fordi y forøges med tiden?

Svar #13
22. oktober 2005 af IBM (Slettet)

Hov, forkert ræsonnement:

så

dx/dt = -x

fordi afstanden x aftager med tiden mens

dy/dy = k

fordi y forøges med tiden?

Svar #14
22. oktober 2005 af IBM (Slettet)

Ingen forkert:
...

dy/dy = v0

fordi y forøges med tiden?

Svar #15
22. oktober 2005 af IBM (Slettet)

Hmmm, det kører, ingen = igen.

Brugbart svar (0)

Svar #16
22. oktober 2005 af fixer (Slettet)

#12-15.

Husk på, at C' bevæger sig på et helt andet liniestykke uden relation til punktet C og det liniestykke, AB, som C bevæger sig til.

Den eneste kobling mellem de to bevægelser er, at begge punkter til tiden t=0 starter i deres respektive endepunkt A hhv A' med samme begyndelseshastighed.

Hastigheden af punktet C' er konstant, og må derfor være v0 hele tiden. Dets position regnet fra A' til tiden t må så være y(t)=v0*t, thi dette er bevægelsesligningen for et punkt der udføre en jævn, retliniet bevægelse med hastigheden v0 og begyndelsesstrækning 0. Der gælder altså

dy/dt = v0

Men bemærk tillige, at det ikke er det, der er interssant. Det interessante består i punkterne C' og C's relative position til tiden t. Som vist i #7 gælder der, at hvis punktet C befinder sig i positionen |BC|=x1, så er det dertil svarende tidspunkt, t1, givet ved

t1 = -ln(x1/v0), 0

Til dette tidpunkt befinder punktet C' sig på positionen

y(t1) = v0*t1 = -v0*ln(x1/v0)

Mit spørgsmål til dig: hvorfor skriver du i #13-#14

dy/dy ?

Den afledede af funktionen y mht y er da ikke interessant.

Svar #17
22. oktober 2005 af IBM (Slettet)

#16:

Jeg mener selvfølgelig dy/dt.

Jeg forstår konstruktionen nu, mange tak for hjælpen.

Skriv et svar til: Napiers logaritme

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.