Eksamensspørgsmål: 0Parablens skæringspunkt med andenaksen

For parabelens skæringspunkt med andenaksen gælder der, at x = 0 .

Med f(x) = ax² + bx + c, beregn da f(0) og f '(0) , og indsæt i tangentligningen.

              Grafen for   f(x) = ax² + bx + c

              skærer andenaksen
              i (0,c).

                          f '(x) = 2ax+b

                          f '(0) = 2a•0+b = b

Ligningen for tangenten i (0,c)

            y = f '(x_o)•(x-x_o) + f(x_o)

            y = f '(0)•(x-0) + c

            y = b•x + c

Men det er jo b jeg skal finde, ikke y? B er jo ukendt

Kan man så bare isolere b i din formel? Dvs:
 

y = b*x + c <=> y - c = b*x <=> (y - c)/x = b

Så formlen for, hvordan jeg finder b er b = (y-c)/x eller hvad? Og hvad er y og x så? (jeg antager,at c betyder det samme)

#3

Det fremgår jo ikke af dit indlæg i #0.

Spørgsmålet

"Udled ligningen for tangenten i parablens skæringspunkt med andenaksen."

er besvaret indledningsvis i #1, og fuldstændigt i #2.

Hvis det ikke er det, du mener, så prøv at formulere dit spørgsmål mere fuldstændigt.

Du må have lært, at en tangent er en ret linie, og at en ret linie har en ligning af formen

y = A·x + B

hvor x og y er variable, og A og B er konstanter. Her udtrykkes konstanterne A og B ved konstanterne a, b og c i 2.-gradspolynomiets forskrift.

Ja, helt sikkert, det er jeg godt klar over. Men hvis b i et andengradspolynomium betegner tangentens hældning i punktet (0, c), så kan jeg ikke se, hvordan tangentens forskrift kan indebære b, der jo betegner denne tangents forskrift? Med mindre b står for noget andet eller hvad?

Altså: Udregnes b ikke ved den tangentligning, som mathon har fundet frem til, ved hjælp af b?

#5

Udregningerne i #1 viser jo netop, at tangentens hældning i punktet (0;c) er b, da tangenten er linien med ligningen

y = b·x + c

Her er b koefficienten b fra 2.-gradspolynomiets forskrift f(x) = a·x² + b·x + c .

Okay, nu forstår jeg. Jeg synes bare, det er underligt, at tangenthældning i punktet (0,c) beregnes ved hjælp af b, når man egentlig udregner b, idet b = y = b * x + c. Så kan udregningen af tangentens hældning jo i princippet være ligemeget, for hvis man kender b, som man skal bruge til at udregne tangentens hældning, så kender man jo også tangentens hældning? Og dermed er udregningen ligegyldig?

#7

Du skal jo lade være med at kalde konstantleddet i tangentens ligning for det samme bogstav b. Det er derfor, jeg brugte store bogstaver A og B i #4 for koefficienterne i tangentens ligning.

Man benytter forskellige symboler for forskellige størrelser, ellers ender det hele i kaos.

Men er vi ikke enige om, at b i tangentligningen er det samme som b i andengradspolynomiet? og det samme for c?

#9

Jo, b og c i tangentligningen

y = b·x + c

er koefficienterne b og c fra 2.-gradspolynomiet f(x) = a·x² + b·x + c .

Jeg forstår ikke, hvad du mener i #7 med

"når man egentlig udregner b, idet b = y = b * x + c"

Det forekommer at være noget vrøvl. Du tænker måske på, hvordan konstantleddet B for en ret linie udregnes, når man kender hældningen A og et punkt på linien?

I #7 mener jeg, at b jo defineres som f'(0), altså hældningen på tangenten til punktet (0, c) (jf. #2). Derfor

b = y(0) = b * 0 + c, ikke?

Så er det jo ulogisk at benytte b til at beregne b, hvis du forstår, hvad jeg mener?

#11

Hældningen for en ret linie y = Ax + B er jo ikke lig med y(0) . Det er konstanten B, der er lig med y(0). Det fører mig igen tilbage til sidste linie i #8.

Ja okay, det var en fejl af mig at skrive b = y, for det er jo egentlig b = y(0), men så benytter man jo stadig b til at finde b?

#13

Prøv nu een gang for alle at læse (og forstå) den sidste linie i #8. Du får kun kaos ud af det, når du kalder forskellige størrelser ved det samme symbol.

Den konstant, der fås ved af den rette lignings forskrift at beregne y(0) er konstanten B i den rette linies forskrift y = Ax + B. Det er ikke konstanten b fra 2.-gradspolynomiets forskrift.

Tangentens ligning

y = Ax + B = bx + c

udtrykt ved 2.-gradspolynomiets koefficienter. Symbolerne a og A er ikke det samme, ligesom symbolerne b og B ikke er det samme.

#13

Jeg tror at du misforstår begreberne tangenthældning og ligning for tangenten. Det er ikke det samme!

Hældningen af din tangent i x=0 er tallet b.

Ligningen for tangenten er derimod ligningen y = b*x+c (sammenlign med y = Ax + B - hældningskoefficienten A = b, hældningen for tangenten)

#15, og så er det, at jeg spørger: Er det ikke korrekt, at b = y(0) = b*x+c, hvorved man benytter b til egentlig at bestemme b? Hvordan hænger det lige sammen? Og er y(0) ikke også det samme tal som b?

#16

Prøv nu en sidste gang at gennemlæse #6, #8, #10, #12 og #14.

Og nej, (igen) y(0) er ikke det samme tal som b .

#16

Nej, b er ikke lig y(0)

y(0) = c

y'(0) = b