Eksponentiel vækst bevis

Man benytter potensregneregler som

a^n+m = aⁿ · a^m .

Med f(x) = b ·a^x er så

f(x+Δx) = b · a^x+Δx = b ·a^x · a^Δx = f(x) · a^Δx

Men hvorfor siger man f(x)=b·ax??

#2

Fordi det er sådan man definerer en eksponentialfunktion, af den art, som benyttes i beskrivelsen af eksponentiel vækst.

Hvis man så skal gøre rede for den eksponentielle vækstmodel, hvad skal man så sige udover forklaring på a og b? Det enste jeg ved er at jeg skal koble vækstrate og fremskrivningsfaktor og sammenligne med renteformelen.

Vækst har aldrig været min stærke side.... 

#4

Man kan også komme ind på halverings- eller fordoblingstid. Det må vel fremgå af din bog, hvad I har gennemgået i pensum. Se evt. https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1363158

af #1
         har du

                                     f(x+Δx) = b · a^x+Δx = b ·a^x · a^Δx = f(x) · a^Δx

                                     f(x+Δx) / f(x) = a^Δx = (1+r)^a
og relativ vækst
                                     (f(x+Δx) - f(x)) / f(x) = f(x+Δx) / f(x)  -  1 = (1+r)^a - 1
som for
Δx = 1 giver                                    
                                     (f(x+1) - f(x)) / f(x) = f(x+1) / f(x)  -  1 = a - 1 = (1-r) - 1 = r
 
                       

Hvordan kommer man så fra b ·a^x · a^{Δx til} f(x) · a^Δx?

#7

Man benytter jo, at f(x) = b · a^x

Så man kan bare springe a^Δx(b*a)^x delen over? først bruger man potensregnereglen dernæst kan man bruge f(x) i stedet og så har vi f(x) = b · a^x?

#9

Man benytter en potensregneregel til at skrive

f(x+Δx) = b · a^x+Δx = b · a^x · a^Δx

og så benytter man definitionen for f(x) til at indse, at de første to faktorer i det sidste udtryk er lig med f(x) . Hvor mange detaljer man vil have med i mellemregingerne er vel et spørgsmål om temperament og erfaring.

Okay  :)

Hvordan kobler man så vækstraten ind? Forstår ikke helt vækstraten udover at det er r=a-1

#11

Det er jo netop forklaret i detaljer i #6 .

#6 rettelse af tastfejl:

af #1
         har du

                                     f(x+Δx) = b · a^x+Δx = b ·a^x · a^Δx = f(x) · a^Δx

                                     f(x+Δx) / f(x) = a^Δx = (1+r)^Δx
og relativ vækst
                                     (f(x+Δx) - f(x)) / f(x) = f(x+Δx) / f(x)  -  1 = (1+r)^Δx - 1
som for
Δx = 1 giver                                    
                                     (f(x+1) - f(x)) / f(x) = f(x+1) / f(x)  -  1 = a - 1 = (1-r) - 1 = r
 
                      

Hvordan får man så den naturlige eksponentiel funktion ind i fremlæggelsen. Jeg skal inddrage en forklaring på f(x)=e^x og har tænkt mig at sige at  den hedder naturlige eksponentielfunktion, da den er sin egen f'(x) og dens sætning (e^kx)=k*e, hvor k er en konstant.

egentlig
                         f(x) = b · e^kx = b ·(e^k)^x = b · a^x

  så enten arbejder du
  med eksponentialfunktionen
  på formen

                                                   f(x) = b · a^x           eller         på formen      f(x) = b · e^kx

med henblik på renteformlen

                                                f(x) = b · a^x
     kunne jo skrives
                                                b(x) = b_o · a^x         selv om det almindeligvis ikke bruges

    er der tale om kapital
    skrives
                                                K(x) = K_o · a^x        eller da i rentesregning x er hel og derfor betegnes
                                                                             n(umerous)

                                                K(x) = K_o · aⁿ        som med fremskrivningsfaktoren a = (1+r) bliver til

                                                K(n) = K_o · (1+r)ⁿ  eller

                                                K_n = K_o · (1+r)ⁿ