Finde vinkler ud fra koordinater

beregn siderne
                                      a, b og c ved hjælp af punktafstandsformlen
og dernæst vinklerne
af cos-relationerne

                                      A = cos^-1[(b²+c²-a²)/(2bc)]

                                      B = cos^-1[(a²+c²-b²)/(2ac)]

                                      C = cos^-1[(a²+b²-c²)/(2ab)]

..

A: (-3.-2)
B: (-3.-7)
C: (-1,75.-3,25)

Linien BC's retningsvektor i et koordinatsystem = (-1,75 ; -3,25 ) - ( -3 ; -7 ) =  ( 1,25 ; 3,75 ).

BC danner derfor vinklen α_BC = arctan( 3,75 / 1,25 ) med x-aksen.

Samme beregning foretages med linierne AB og CA.

Find den parvise differens mellem de tre fundne vinkler, og du har trekantens vinkler.

Og husk nu at tjekke, at summen af vinklerne = 180º ! !

Alternativ til #3:

Dan de tre vektorer AB, AC og BC : 

AB = [0 ; -5] = (1/4)·[0 ; -20]

AC = [7/4 ; -5/4] = (1/4)·[7 ; -5]

BC = [7/4 ; 15/4] = (1/4)·[7 ; 15] .

De tre vinkler i trekanten kan da beregnes således:

Vinkel A beregnes som vinklen mellem vektorerne AB og AC .

Vinkel B beregnes som vinklen mellem vektorerne BA og BC .

Vinkel C beregnes som vinklen mellem vektorerne CA og CB .

Derfor er

cos(A) = AB • AC / (|AB|·|AC|) = 100 / ((0²+20²)^1/2·(7²+5²)^1/2) = 100/(20·√74) = 5/√74

cos(B) = BA • BC / (|BA|·|BC|) = 300 / ((0²+20²)^1/2·(7²+15²)^1/2) = 300/(20·√274) = 15/√274

cos(C) = CA • CB / (|CA|·|CB|) = (7·7-5·15) / ((7²+5²)^1/2·(7²+15²)^1/2) = -26/(√74 · √274)

#4:   Der ligger i #3 det skjulte trick, at hvis man har en lommeregner, der har lidt performans indenfor kompleks talregning ( rektangulær → polær, division, osv. ), og tegner trekanten i en kompleks talplan, kan f.eks. vinkel B beregnes ved:

AB / BC = ( B - A ) / ( C - B )

Resultat på polær form angiver nu komplementærvinklen til vinkel B.

#5

Ja, det er da en ganske interessant fremgangsmåde. Hvis der var en hentydning til det i #3, er den dog meget skjult.

Hvis man så repræsenterer trekantens vinkelspidser A, B og C ved de tre komplekse tal z_A, z_B, og z_C, bør beregningen af, f.eks. vinkel B ske ved

<B = arg( (z_A - z_B) / (z_C - z_B) )

Her er

z_A - z_B = 5i   og   z_C - z_B = (7/4) + (15/4)i ,

hvorfor

(z_A - z_B) / (z_C - z_B) = 20i·(7 - 15i) / (7²+15²) = (300 +140i)/274 .

Heraf ser man så

cos(B) = 30 / √(30²+14²) = 30 / √(4·274) = 15/√274 .

er der nogen der kan forklare mig hvad vektorerne er?