Andengradsligning

4x² + 12x = - 5    er  ikke

(2x + 3)² = 0

men   (2x + 3)²  =  4x² + 12x + 9

                     4x² + 12x = -5

                     (2x)² + 12x = -5

                     (2x)² + 2 • (2x)•3 = -5

                     (2x)² + 2 • (2x)•3 + 3² = -5 + 3²

                     (2x+3)² = 4

                     2x+3 = ±2

                                             2x = -1                               2x = -5

                                             x = - ¹/₂                               x = - ⁵/₂

#0

3 er heller ikke det dobbelte produkt af 12.

Derimod er 12x det dobbelte produkt af 2x med 3.

Der er tale om at kvadratkomplettere de to led 4x² + 12x til kvadratet på en toleddet størrelse. Kvadratet på en toleddet størrelse (a+b) er

(a+b)² = a² + 2ab + b² .

Det første led, 4x², er klart kvadratet på 2x, dvs

4x² = (2x)²

Det andet led, 12x, er ikke et kvadrat, men det er det dobbelte produkt af 2x med 3, dvs

12x = 2·2x·3 .

Hvis vi så lægger 3² til de to led 4x² + 12x, får vi i alt de tre led i det udregnede kvadrat på venstre side. Vi skal naturligvis også lægge 3² til på højre side:

4x² + 12x = -5 , vi lægger 3² til på hver side

4x² + 2·2x·3 + 3² = -5 + 3^{2  .} Venstre side er nu kvadratet på en toleddet størrelse

(2x+3)² = -5 + 3² , og på højre side kan vi reducere

(2x+3)² = -5 +9 = 4 = 2² , hvoraf

(2x+3)² -2² = 0 , der via en kvadratsætning bliver til

(2x+3+2)·(2x+3-2) = 0 , eller

(2x+5)·(2x+1) = 0 .

Denne ligning kan nu løses ved at benytte nulreglen.

#0

Hvis du skriver (2x+3)² ud i prodktform, får du (2x+3)(2x+3) = 2x·2x + 2x·3 + 3·2x + 3·3 = 4x²+2·3·2x + 3·3.

Herudfra kan du finde de 12x.

Da du ikke har noget lighedstegn i tredie linie, går jeg ud fra, at der her er tale om en udregning af en del af ligningen, og at resultatet skal bruges i selve ligningen senere. Passer det?

#4

Det drejer sig vist om at kvadratkomplettere venstresiden af ligningen, og det er det, der er fokusseret på i 3. linie i #0. Dette giver en genvej til løsning af ligningen, fordi højresiden ved kompletteringen også bliver et pænt kvadrattal.

(2x+5)·(2x+1) = 0

4(x+⁵/₂)(x+¹/₂) = 0

Al den legen "Gæt og Grimasser" fordi trådstarter, som det alt for ofte sker, ikke gør sig umage med at være præcis. Der gættes og gættes, - men grimasserne er mange sikkert lykkeligvis forskånet for.

Tak for alle jeres svar. :) 

 

#8

               x² + 2x + 5 = 20

               x² + 2x + 1 = 15 + 1

               (x + 1)² = 4²

               (x + 1)² - 4² = 0

              (x+1+4) • (x+1-4) = 0

              (x+5) • (x-3) = 0

…men nu blev spørgsmålet i #8 slettet.

#5

Det var det, jeg havde i tankerne. Jeg fik ikke set #3 inden jeg sendte mit svar, da min PC var gået kortvarigt ned mens jeg skrev svaret.