Differentialligning

b) du kan gætte på en løsning af formen y=k*e^ax. Sæt det ind i differentialligningen. Det giver en ligning til bestemmelse af k. For a=1 eller a=-3 går den ikke idet alle sådanne løsninger vil være løsning til den homogene ligning. For dem kan du i stedet prøve k*x*e^ax Addering af løsningerne til den homogene ligning

c) Find y'  Ligningerne y(x) = 0 og y'(x) = 0 giver 2 ligninger til bestemmelse af de arbitrære konstanter C₁ og C₂

er ikke helt sikker på jeg forstod b), har gjort som på det vedhæftede screen shot...

Du skal også finde y'' og y' og sætte det ind i differentialligningen. Det vil give en lineær ligning i k*e^ax

For a forskellig fra  1 og -3 vil der ikke være nogle problemer For a=1 eller a=-3 vil du få ligningen 0=0, som du ikke kan bruge til noget

Så indtil videre ser det sådan her ud... Jeg ved godt jeg spørger meget, men jeg vil så gerne forstå det ordenligt :)

I den sidste bør du erstatte a med henholdsvis 1 og -3. ellers er du færdig med  det spørgsmål

Så for den sidste for jeg:

med a=1  1/(x+2x+1)

med a=-3  1/(9x-6x+11)

Men i opgave c) hvad er det så for en ligning jeg skal differentiere, for så at få et udtryk med konstanter C₁ og C₂  ?

#4

Hvis man forsøger med en løsning af formen

y = k·x·e^ax

og indsætter i den inhomogene ligning, får man betingelsesligningen

(ka²x+ak+ka)e^ax + 2(kax + k)e^ax - 3kxe^ax = e^ax , dvs.

((ka² + 2ka -3k)x + 2ka +2k -1)e^ax = 0

der skal være opfyldt for alle x, så man finder

ka² + 2ka -3k = 0   og   2ka +2k -1 = 0 , dvs.

k·(a-1)(a+3) = 0    og   2k·(a+1) = 1 , dvs

(a = 1 ∧ k = 1/4)     eller    (a = -3 ∧ k = -1/4)

Jeg skulle i #5 have tilføjet at du skal adderer den generelle løsning (altså C₁e^x+C₂*e^-3x) til de løsninger du har fundet for den inhomogene ligning.

Hvis funktionerne betegnes med f(x) skal du finde f'(x) og opstille ligningern f(x) = 0, f'(x) = 0. Det giver 2 ligningermed de 2 ubekendte C₁ og C₂, som du må løse