Mængder

Det sidste først: Ja, når du skal angive et modeksempel, definerer du nogle mængder og ser om højre og venstre side af lighedstegnet giver det samme.

Du kunne definere nogle endnu mere konkrete mængder som:
A={1,2,3,4}
B={2,4,6,8}
C={3,4,5,6},
med en grundmængde G={1,2,3,4,5,6,7,8}.

Så vidt jeg umiddelbart kan regne ud, duer de som modeksempler på i og iii.

Jeg synes ofte, at det hjælper at tegne mængderne som Venn diagrammer (google det, hvis du er i tvivl om navnet), ligesom man gjorde i folkeskolen og gymnasiet, for det visuelle overblik kan give god indsigt.

#0

Ved at bruge Venn diagrammer http://en.wikipedia.org/wiki/Venn_diagram er det let at se, at 1) er falsk og 2) er sand.

#2

Ja, du har ret med Venn diagram. Jeg kan også se, at iii) er falsk. Jeg tænker, hvordan man kan bevise det matematisk uden at vise diagrammet. Hvis vi starter med ii), får jeg:

x ∈ A ∩ (B \ C) ⇔ (x ∈ A) ∧ ((x ∈ B) ∧ (x ∉ C)) ⇔ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) ∧ (x ∉ C) ⇔ x ∈ (A ∩ B) \ C).

På højre side, har man

x ∈ (A ∩ B)\ (A ∩ C) ⇔ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) ∧ ((x ∉ A ) ∧  (x ∉ C)) ...

jeg går her i stå, da jeg generelt ikke ved hvad (p ∧ q) ∧ (r ∧ s) ≡ .... giver før jeg kommer videre. Kan du hjælpe mig? 

Eller glem det. Jeg tror bare det er lettere, hvis jeg viser modeksemplet. Fra 

#1, A={1,2,3,4}, B={2,4,6,8} og C={3,4,5,6}

ser vi på i)

venstre side

B \ C = {2, 3, 5, 8} , så A ∪ (B \ C) = {1, 2, 3, 4, 8}

på højre side

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} og A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, så (A ∪ B )\ (A ∪ C) = {8},

altså er {1, 2, 3, 4, 8} ≠  {8}. Har jeg vist det korrekt med modeksemplet?

Jeg ville mene, at B \ C = {2, 8}.
Men du kommer frem til det rigtige med A ∪ (B \ C) = {1, 2, 3, 4, 8},
og resten er fint.

Som nævnt i #1, prøv at illustrere det for dig selv med Venn diagrammer - De duer også til det konkrete eksempel.

ii) kan da ikke vises ved modeksempel da den er sand.

Ergo skal den bevises.

#6

Det fremgår jo også af svaret i #2.