Induktionsbevis

Det kommer an på om du virkeligt har vist det du skriver eller om du skal vise det.

I den første bruges induktionsforudsætningen på venstre side hvilket giver m(3m+2)/2+3m+2 Du skal så regne videre på det til du får højre side. Tip du kan sætte 3m+2 ud foran en parentes

Der står jeg skal bevise at følgende formler er korrekte for alle n tilhørende N

Ja men hvad har du bevist ?

Når du skriver

2+5+8+...+(3m-1)+(3m+2)= ( (m+1)(3m+2) ) / 2 og spørger om du er færdig er det for mig uklart om du rent faktisk har bevist dette eller om du bare fortæller at du er klar over at dette skal bevises. Hvis du ikke har bevist det skal du gøre det og i #1 er der et tip om hvordan du kan gøre det

Jeg har jo regnet fra 2+5+8+...+(3m-1)+(3(m+1)-1)= ( (m+1)(3(m+1)-+) ) / 2 

til 2+5+8+...+(3m-1)+(3m+2)= ( (m+1)(3m+2) ) / 2

forstår ikke hvor  m(3m+2)/2+3m+2 kommer ind henne. 

Du forudsætter at formlen gælder for m altså at 2+5+8+... (3m-1) = m(3m+2)/2  og skal så vise at formlen også gæder for n = m+1. Rækken op til m+1 bliver

2+5+8+...+(3m-1)+(3m+2) 

hvor du så på de første m led kan bruge denne antagelse 

det forstår jeg ikke, hvad er i tæller og nævner i det udtryk: m(3m+2)/2+3m+2

Kender du induktionsbeviset ? Hvis du ikke gør kan du læse om de på http://da.wikipedia.org/wiki/Induktion_%28matematik%29

Der er kun en nævner nemlig 2

Så giver  m(3m+2)/2+3m+2 jo ingen mening?

Og ja, kender godt til det, forstår bare ikke hvordan jeg kommer fra 

 2+5+8+...+(3m-1)+(3m+2)= ( (m+1)(3m+2) ) / 2

til det jeg skal komme til. Hvilket jeg er lidt i tvivl om hvad er. 

1) Man skal bevise ved induktion, at

p(n): ∑ⁿ_j=1 (3j-1) = n(3n+1)/2

Vis p(1). Vis dernæst, at hvis p(n) gælder, så gælder p(n+1).

p(1) er klart opfyldt. Antager vi nu, at p(n) gælder, har vi så

∑ⁿ⁺¹_j=1 (3j-1)  = ∑ⁿ_j=1 (3j-1)  + 3(n+1) - 1 = n(3n+1)/2 + 3(n+1) -1

                                                           = (3n2 + n +6n +6 -2)/2

                                                           = (3n² + 7n +4)/2

                                                           = (n+1)(3n+4)/2

                                                           = (n+1)(3(n+1)+1)/2

                                                            ⇒ p(n+1)

2) Man skal bevise, at

g(n): ∑nj=1 (4j-1) = n(2n-1)

3) Man skal bevise, at

h(n): ∑ⁿ_j=1 j³ = ( n(n+1)/2 )²

Hvordan kan du bare + 3(n+1) -1 på højre side?

Jeg troede man skulle sætte (n+1) ind alle steder hvor der står n, Åltså er højre side ( (m+1)(3(m+1)-+) ) / 2 

#10

Summen ∑ⁿ⁺¹_j=1 (3j-1)  får man jo ved at tage summen ∑ⁿ_j=1 (3j-1) og dertil lægge det sidste led

(3·(n+1) - 1). Og da p(n) antages at gælde, ved man, at ∑ⁿ_j=1 (3j-1) er lig med n(3n+1)/2 .

Jeg har i induktionsskridtet:

Antag p(m) er sand. Vi vil vise ar p(m+1) er sand.

2 + 5 + 8 + ... + (3m-1) + (3(m+1)-1) = (m+1) (3(m+1)+1) 
                                                                  2

2 + 5 + 8 + ... + (3m-1) + (3m+2) = (m+1) (3m+2) 
                                                            2 

Her går jeg så i stå. Hvad skal jeg ende med?

Du skal bruge induktionsantagelser på de første m led altså antagelsen om at 2 + 5 + 8 + ... + (3m-1)=m(3m+1)  / 2.  

#12

Det er gennemgået i #9.

Man antager at p(m) er sand. Man har så

p(m) ⇒ 2 + 5 + 8 + ... + (3m-1) + (3(m+1)-1) = [ 2 + 5 + 8 + ... + (3m-1) ] + (3(m+1)-1)

                                                                  = m·(3m+1)/2 + (3(m+1)-1)

                                                                  = (3m² + m + 6m + 4)/2

                                                                  = (3m² + 7m + 4)/2

                                                                  = (m+1)(3m+4)/2

                                                                  = (m+1)(3(m+1)+1)/2

                                                                  ⇒ p(m+1)

Så egentlig skal jeg regne det ud på venstre side?

#15

Ja, det gør man jo ved at antage, at man kan benytte formlen for p(m). Man antager, at p(m) er sandt og viser så, at p(m+1) er sandt.

Og hvad skriver man så i konklustionen.
Tror jeg er langsomt ved at forstå hvad det går ud på

#17

Konklusionen er, at p(n) er sandt for alle n ≥ 1 .