Expantion af polynomium

P.S. Jeg har kigget på http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_expansion men uden held.

Hov! Jeg har da fuldstændig kaget rundt i det i første indlæg, og jeg kan ikke længere rette i det! (GLEM HVAD JEG HAR SKREVET I #1!)

Jeg søger en formel for koefficienterne i polynomiet

når det er skrevet helt ud.

P.S. Undskyld for fejlene i de første to indlæg og den grotesk dårlige stavning i overskriften.

Hmm... Jeg har fundet noget på http://arxiv.org/pdf/math/0505425v1.pdf, men det fatter jeg ikke et klap af; når jeg prøver at indsætte tal, får jeg noget som ikke stemmer overens. (Måske skyldes det at jeg ikke fatter notationen, men det tror jeg nu ikke.)

Hjælp modtages med kyshånd.

Her er nogle links, der måske kan skubbe dig videre:

http://mathworld.wolfram.com/TrinomialCoefficient.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_theorem

Ja, det ser jo brugbart ud. Dog kan jeg ikke rigtig gennemskue, hvordan jeg skal angribe det.

Vi starter lige helt fra starte: Vi har m uafhængige terninger, hver med n sider. Lad potensen af variablen i hvert led i det udskrevne polynomium fra indlæg #2 betegne øjensummen ved kast med de m n-sidede terninger. Antallet af muligheder for at opnå den enkelte øjensum er så givet ved koefficienten i det samme led.

Mit problem er at finde et lukket udtryk for koeffienterne i hvert led i polynomiet, når det er skrevet helt ud.

Hvis jeg kan få en -- f.eks. dig, Andersen11 -- til at hjælpe mig med at opskrive formlen, vil det være rigtig rart.

Eksempel: For tre terninger hver med fire sider, skal vi se på

hvor koefficienterne i de enkelte led angiver antallet af kombinationer, som øjensummen (= tallet i eksponenten i samme led) kan forekomme på.

P.S. Det er som sagt ikke noget, der skal afleveres, så en lang forklaring for at forstå svaret, er ikke nødvendig.

#5

Koefficienterne fremkommer netop ved at generalisere Trinomialkoefficienterne i det første link i #4.

Det er sikkert utroligt trivialt, men jeg kan ikke gennemskue det lige nu. Kan jeg få dig til at skrive polynomiet

helt ud for mig?

Jeg tror at det der forvirrer mig lidt er, at man skal se på alle kombinationer af de ikke-negative indekser $k_i$ for $1 \leq i \leq m$ med $\sum_{i=1}^m k_i = n$. Er der en eksplicit formel for at finde alle kombinationer af disse $k_i$?

Man kan eventuelt udnytte, at man kan summere den geometriske række for x ≠ 1 således

∑^m_j=1 x^j = x·∑^m-1_j=0 x^j = x·(1-x^m)/(1-x)

Jeg kan desværre ikke se hvordan det kan give mig koefficienterne eksplicit. :(

#9

Man søger koefficienterne {a_j} i udviklingen

( ∑^m_j=1 x^j )ⁿ = xⁿ · ∑^n(m-1)_j=0 a_j·x^j .

Relationen i #8 giver så

(x-1)ⁿ · xⁿ · ∑^n(m-1)_j=0 a_j·x^j  = xⁿ · (x^m-1)ⁿ

og benytter man binomialteoremet, får man

∑ⁿ_j=0 (-1)^j·(ⁿ_j)·x^j · ∑^n(m-1)_j=0 a_j·x^j  = ∑ⁿ_j=0 (-1)^j·(ⁿ_j)·x^mj

som en identitet mellem to polynomier.

Det skal jeg lige fordøje. Det er lykkedes mig at gennemskue dine beregninger, men jeg mangler at finde ud af, hvordan koefficienterne eksplicit skrives op ud fra dette; jeg vender tilbage senere i aften (senest kl. 22).

#11

Fremgangsmåden i #10 er ikke en eksplicit fremgangsmåde, men den giver en ligningssystem til bestemmelse af koefficienterne. Koefficienterne a_j bør også gives afhængighed af m og n, dvs. a_j(m,n) .

Sætter man m = 4 og n = 3 (for at passe til dit eksempel i #5), har man (med udeladelse af (4,3) afhængigheden på alle a-koefficienterne):

(x-1)³ · (a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ... + a₉x⁹) = (x⁴-1)³ , dvs

(x³ -3x² +3x -1) · (a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ... + a₉x⁹) = x¹² - 3x⁸ + 3x⁴ -1 ,

der giver

-a₀ + (3a₀ -a₁)x +(-3a₀ + 3a₁ -a₂)x² + (a₀ -3a₁ + 3a₂ -a₃)x³ + (a₁ -3a₂ + 3a₃ -a₄)x⁴

     + (a₂ -3a₃ + 3a₄ -a₅)x⁵ + (a₃ -3a₄ + 3a₅ -a₆)x⁶ + (a₄ -3a₅ + 3a₆ -a₇)x⁷

     + (a₅ -3a₆ + 3a₇ -a₈)x⁸ + (a₆ -3a₇ + 3a₈ -a₉)x⁹ + (a₇ -3a₈ + 3a₉)x¹⁰

     + (a₈ -3a₉)x¹¹ + a₉x¹² = x¹² - 3x⁸ + 3x⁴ -1

Heraf aflæser man 13 ligninger til bestemmelse af de 10 koefficienter a₀, a₁, a₂, .., a₉ . Ligningerne løses successivt fra enderne:

a₀ = 1 ,
a₁ = 3a₀ = 3 ,
a₂ = -3a₀ + 3a₁ = -3 + 3·3 = 6 ,
a₃ = a₀ -3a₁ + 3a₂ = 1 -3·3 + 3·6 = 10 ,
a₄ = a₁ -3a₂ + 3a₃ -3 = 3 - 3·6 + 3·10 - 3 = 12 ,
a₉ = 1 ,
a₈ = 3a₉ = 3 ,
a₇ = 3a₈ -3a₉ = 3·3 -3 = 6 ,
a₆ = 3a₇ - 3a₈ +a₉ = 3·6 - 3·3 +1 = 10 ,
a₅ = 3a₆ - 3a₇ +a₈ -3 = 3·10 -3·6 +3 -3 = 12 .

Det var dog en snedig metode! Det er jo lige før, det er værd at skrive ned, så man har det til en anden god gang. :)

Kan man aldig løse ligningerne successivt fra enderne, uanset værdierne af m og n, så længe de er naturlige tal?

#13

(aldig --> altid?)

Ja, for denne problemstilling gælder det. Ligningerne i enderne har jo hver kun een ubekendt; de næste to ligninger i hver ende har to ubekendte, hvor den ene lige er bestemt, osv. I hvert skridt fra hver ende kommer der kun een ny ubekendt ind i billedet.

Ja; "aldig" --> "altid".

Denne smarte metode skal jeg lige fordøje grundigt, inden jeg giver mig selv lov til at se NHL. :)

Mange tak for hjælpen.

Lige en sidste ting, nu hvor jeg er ved at skrive en note:

Hvorfor er det (-1)^j og ikke (-1)^(n-j) begge steder i den sidste ligning i #10?

Jeg har kigget på http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html.

#16

Du har helt ret i, at anvendelsen af binomialformlen ville give (-1)^n-j og ikke (-1)^j , men nu har man

(-1)^n-j = (-1)ⁿ·(-1)^-j = (-1)ⁿ·(-1)^-j · (-1)^2j = (-1)ⁿ·(-1)^j ,

så ved at gange den oprindelige ligning med (-1)ⁿ, ser man, at man kan opretholde ligningen med (-1)^j i stedet for (-1)^n-j .

God pointe; jeg takker igen!

P.S. Jeg har skrevet en lille note på 2 sider om dette. Må jeg eventuelt sende den til dig til gennemlæsning, så jeg ved at det jeg har er korrekt?

Noten er blevet på 3 sider...

Det er ikke nødvendigt; jeg er ret sikker på at det jeg har noteret er korrekt.