Matematik
Mængden
Jeg har en øvelse, der lyder følgende: Bestem
i) n=1∩∞[-1, 1 - (1/n)] og
ii) n=1∪∞[-1, 1 - (1/n)] .
Jeg er nysgerrig at vide hvordan man skal svare på en korrekt måde samt bevise det. Men at bevise det, vil jeg gøre det til sidst.
Jeg lader An = [-1, 1 - (1/n)], så ser vi, at A1 = [-1, 0], A2 = [-1, (1/2)] ... og så er jeg i tvivl om det skal være lukket eller halvåbne interval, dvs. A∞ = [-1, 1] eller A∞ = [-1, 1[.
Det er helt klart, at i i) får man
n=1∩∞An = A1∩...∩An = [-1, 0].
Før jeg går videre til ii), vil jeg gerne have rettet først hvordan A∞ skal defineres.
Svar #1
22. oktober 2013 af peter lind
se https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1392078
Svar #2
22. oktober 2013 af DelFerro (Slettet)
#1. Tak for linket. Jeg har lige set det igennem, så må
n=1∪∞[-1, 1 - (1/n)] = [-1, 1[.
Men, hvad er A∞ så helt præcis defineret ved i #0? Jeg er klar over, at (1/n) → 0 for n → ∞,
derfor er A∞ = [-1, 1 - 0] = [-1, 1].
Jeg er ikke helt med på, at det skal være et halvåbent interval. Kan du forklare mig det?
Svar #4
22. oktober 2013 af DelFerro (Slettet)
#3. Ok, så er min definering A∞ helt forkert og absurd.
Så forstår jeg, at 1 - (1/n) < 1 for n ≥ 1. Derfor n=1∪∞[-1, 1 - (1/n)] = [-1 , 1[. OK.
Hvordan beviser man da i to retninger, ⊆ og ⊇? Nogen hints? Jeg har kigget på siden [Se s. 73 Eksemplet 3b]. Beviset forstod jeg delvis, men det giver mig ikke rigtigt nogle ideer til at bevise her.
Svar #5
22. oktober 2013 af Andersen11 (Slettet)
#4
Du spørger om, hvad A∞ er, men det er jo slet ikke defineret i opgaven. Man skal bestemme de to mængder i i) og ii).
Ved foreningsmængden er det gennemgået i den anden tråd.
Det er vel klart, at An ⊆ [-1 ; 1[ for ethvert n . Derfor er ∪∞n=1 An ⊆ [-1 ; 1[ . I den anden tråd vises ⊇ .
Svar #6
22. oktober 2013 af DelFerro (Slettet)
#5
Ja det er helt korrekt hvad du siger. Jeg forsøgte blot at danne et billede i hovedet for at have et bedre overblik over hvordan intervallerne er. Men det ser ud som at jeg allerede har fået lært og forstået hvordan det skal gøres. Jeg har bestemt, at i) skulle være [-1, 0] mens ii) skulle være [-1, 1[.
Nu ønsker jeg at bevise dem. Hvor skal jeg starte helt præcis?
Skriv et svar til: Mængden
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.