Fjerdegradsligning og tangenthældning

Vink til a): Bemærk at

    (ax² + bx + c)² = a²x⁴ + 2abx³ + 2acx² + b²x² + 2bcx + c²,

så man kan skrive f på formen f(x) = (ax² + bx + c)² ved at vælge a, b, c passende. (Yderligere vink: c = -6.) Du kan så bruge nulreglen:

    f(x) = 0  ⇔  (ax² + bx + c)² = 0  ⇔  ax² + bx + c = 0.

Nu er det bare et spørgsmål om at løse en andengradsligning. :-)

Tangenten til grafen for f i et punkt (x₀, f(x₀)) har hældningen f'(x₀). I din matematikbog kan du finde tangentens ligning:

    y = f(x₀) + f'(x₀) · (x - x₀).

I b) skal du tage x₀ = 1. Notationen f(1) betyder værdien af funktionen f når x = 1, dvs.

   f(1) = 1⁴ + 2·1³ - 11·1² - 12·1 + 36 = 16.

Har du ikke en lommeregner/matematik program der kan regne det og finde alle løsningerne. Som mulighed kan du tegne f(x) som graf og finde skæringerne med x aksen.

f(1) er hvor du sætter x lig med 1 i dit 4 gradspolynomium:  f(1)=1^4 + 2*1^3 -11*1^2 -12*1 + 36=??

 f(x)=x^4 + 2x^3 -11x^2 -12x + 36

 tangenthældningen finder du ved at differencierer: f'(x)=4*x^3 + 3*2x^2 -2*11x -12

Så indsætter du 1: f'(1)=4*1^3 + 3*2*1^2 -2*11*1 -12=??

Tangenstens ligning: y=f'(1)*x+b

Så benytter du (1,f(1)) til at finde b.

Hvis der er heltallige rødder, vil de gå op i konstantleddet 36.
Du kunne jo prøve, om  - 3 og 2 er potentielle muligheder.

Tangentligningen i (x₀ ; f (x₀)) er
y - f (x₀)  =  f '(x₀)·(x - x₀)

f (1) findes ved at indsætte 1 på x'es pladser i funktionen.
Tilsvarende for  f '(1)

Mange tusind tak for jeres hjælp! Det er meget brugbart!
Opgaverne laves i Maple som kan regne det ud for mig, men jeg Skal have mellemregninger og forklaringer med. Så mange tak, i har reddet min dag! :D