Matricer

Det ses af dette og de tidligere indlæg i nævnte tråd at du mangler et grundlæggende kendskab til matrixregning.

Det vil føre for vidt at undervise i det her.

Blot skal jeg nævne, at det på ingen måde gælder at

C³ = A <=> A = C^(1/3)

Hvis det virkeligt var tilfældet og hvis kubikroden af en matrix ellers var defineret, så ville der jo ikke være nogen grund til at gå en omvej via diagonalisering af A.

Ok llm.

Først og fremmest findes der ikke potensopløftning for matricer på samme måde som der gør med reelle og komplekse tal. Altså er der ikke noget, der hedder C^(1/3). Dette er meget vigtigt at forstå. C^3 er bare en kort måde at skrive CCC. Derfor vil jeg ikke bruge skrivemåden C^n for matricer i resten af dette indlæg.

Her kommer så løsningen på problemet 'finde en matrix C, så CCC = A':

Først diagonaliserer du A. Dvs. du finder egenverdierne -1 og 8, og de tilhørende egenvektorer (1,1) og (2,1). Derefter sætter du
D =
[-1 0]
[ 0 8]

V =
[1 2]
[1 1],

og finder
V^(-1)=
[-1 2]
[ 1 -1],

så A = VDV^(-1).

Det er nu du skal huske, hvad jeg skrev sidst. Vi skal nemlig finde en matrix (Se så! Nu har jeg lært det :) E, så
EEE = D.

Forestil dig nu, vi har fundet E.
Sætter vi nu C = VEV^(-1), så vil der gælde
CCC = VEV^(-1)VEV^(-1)VEV^(-1)
= VEIEIEV^(-1) = VEEEV^(-1)
= VDV^(-1) = A.


Altså er C en løsning på det oprindelige problem! Dvs. finder vi E, kan man let udregne løsningen C = VEV^(-1) på det oprindelige problem ved blot at gange de tre matricer VEV^(-1) sammen.

Nu skal jeg så forklare dig hvordan vi finder E, og hvorfor vi laver alt det her diagonaliseringshalløj.

Det er nemlig meget nemmere at finde matrice E, så
EEE = D,
netop fordi D er en diagonal matrice.

For alle diagonale n x n matricer
F =
[f_1 0 ... 0]
[0 f_2 0 ... 0]
[ ... ]
[ 0 ... 0 f_n],

gælder der nemlig, at

FFF =
[f_1^3 0 ... 0]
[0 f_2^3 0 ... 0]
[ ... ]
[ 0 ... 0 f_n^3].

Altså igen en ny diagonal matrice.
(her bruger jeg betegnelsen f_i^3, fordi indgangene i matricen FFF jo er 'tal')

For eksemplets skyld: For
E =
[a 0]
[0 b]

er
EEE =
[a^3 0]
[0 b^3].

(prøv selv at gange det ud, og du vil straks se hvorfor)

Dvs., at hvis vi kan finde et a, så
(1) a^3 = -1,
og et b, så
(2) b^3 = 8,
så er
E =
[a 0]
[0 b]
en løsning til EEE = D, da
EEE =
[a^3 0]
[0 b^3]
=
[-1 0]
[ 0 8]
= D

Men disse to _tal_ a og b er jo nemme at finde, da vi i (1) og (2) kan bruge, at
a = 3. rod af -1 = e^(i*pi/3), og
b = 3. rod af 8 = 2

Altså har vi nu fundet
E, og dermed så du tidligere, at vi kan udregne C = VEV^(-1), som er en løsning til det oprindelige problem.

Håber det blev nemmere at forstå.

#2 @#$%!!

Heldigvis fandt jeg selv det sted, hvor der burde have stået "en diagonal matrix"

Rigtig mange tak!

Det var nok det med potenserne, der forvirrede...

Jeg har løst opgaven nu. Tak.