Matematik

Differentialligninger

06. november 2005 af Mads123 (Slettet)

Har brug for lidt hjælp til disse to opgaver.

1)
Bestemmelse af konstanten k så funktionen f(x) = cos(k*x) er en løsning til differentialligningen y''=-16*y

2)
Bestemmelse af et andengradspolynomium som er løsning til differentialligningen
f'(x)=f(x) - (x)^(2) + 5*x - 6

Hvordan løser man dem? Har vidst ikke forstået det ordenligt.

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. november 2005 af Blaavand (Slettet)

#1
Prøv at differentiere cos(k*x) to gange og se, hvad resultatet bliver.
Så kan du let se, hvad konstanten skal være.

Svar #2
06. november 2005 af Mads123 (Slettet)

Kan det passe
-k^2*cos(k*x) ?

Og hvordan vil du så gøre?

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. november 2005 af sigmund (Slettet)

ad 1)
Sæt ind i differentialligningen: -k^2*cos(k*x)=-16*cos(k*x). Her ses det let hvad k skal være for at opfylde ligningen.

ad 2)
Omskriv til f'(x)-f(x)=-x^2+5*x-6. Den fuldstændige løsning er givet ved f(x)=f_hom(x)+f_p(x), hvor f_hom(x) er løsningen til den homogene differentialligning f'(x)-f(x)=0 og f_p(x) er en partikulær løsning til differentialligningen f'(x)-f(x)=-x^2+5*x-6.
Løsningen til den homogene ligning finder du sikkert i en formelsamling, men den partikulære løsning f_p(x) findes ved at gætte en løsning f(x)=A*x^2+B*x+C. Denne sættes så ind i differentialligningen, og konstanterne A, B og C findes ved at sammenligne venstre og højre side.

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. november 2005 af Epsilon (Slettet)

I 2) behøver man ikke at arbejde med den tilsvarende homogene differentialligning; der ønskes bestemt et andengradspolynomium,

f(x) = ax^2 + bx + c, a != 0

som er en løsning. Differentiér f og indsæt i differentialligningen for at bestemme koefficienterne a,b og c.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. november 2005 af sigmund (Slettet)

#4, ja selvfølgelig. Man skal jo ikke bestemme den fuldstændige løsning, men bare bestemme et andengradspolynomium, der er løsning.

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. november 2005 af Duffy

2)
Bestemmelse af et andengradspolynomium som er løsning til differentialligningen

f'(x) = f(x) - x^2 + 5x - 6 , y = ax^2 + bx + c, a != 0

y' = y - x^2 + 5*x - 6

2ax + b = [ax^2 + bx + c] - x^2 + 5*x - 6

2ax + b = (a-1)x^2 + (b+5)x + (c-6) , dvs

a-1=0 [der er jo intet 2. gradsled på v.s]

2a=b+5

b=c-6

%%%%%%%%%%%%%%%%%%

a-1=0 , a=1.

2a=b+5 , 2·1=b+5 , 2=b+5 , b=-5+2=-3.

b=c-6 , c=b+6 , c= -3+6 = 3.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Dvs

f(x) = ax^2 + bx + c = 1·x^2 - 3x + 3

y = x^2 - 3x + 3 , y'=2x-3

Vi gør "prøve":

Så der skal altså gælde at

2x-3 = x^2 - 3x + 3 - x^2 + 5*x - 6, jamen dog - DET STEMMER!

Duffy

Svar #7
07. november 2005 af Mads123 (Slettet)

"Sæt ind i differentialligningen: -k^2*cos(k*x)=-16*cos(k*x). Her ses det let hvad k skal være for at opfylde ligningen." Øhm ja, det ses let :D
Har prøvet med computer og der siger den k=4, k=-4 og så er der et til svar, men den kræver nogle betingelser ?

#6 Mange tak! Hvis det ikke var for dine udregninger havde jeg da ikke forstået noget. Men hvordan kan du se "a-1=0, 2a=b+5, b=c-6"?

Brugbart svar (0)

Svar #8
07. november 2005 af Duffy

Du skal afstemme led for led. Dvs at 2. gradsledene på højre side (h.s)
skal stemme med 2. gradsledne på venstre side (v.s) og
førstegradsledene på højre side (h.s)
skal stemme med førstegradsledene på venstre side og
konstant-ledene på højre side (h.s)
skal stemme med konstant-ledene på venstre side (v.s).
Ellers gælder ligningen jo ikke !!!

2ax + b = (a-1)x^2 + (b+5)x + (c-6) , dvs

a-1=0 [der er jo intet 2. gradsled på v.s]

2a=b+5

b=c-6

Er du mæ??

Duffy

Svar #9
07. november 2005 af Mads123 (Slettet)

Oh, har den nu :D

Gør man så på samme måde i denne opgave:
"Vis at for ethvert tal c er linjen l, med ligning y=cx - (c)^(2) er en løsningskurve til differentialligningen ((y'))^(2) - xy' + y=0."

c^2 - x*c + cx-c^2 =0 Hvad skal jeg så? Finde de c værdier hvor det giver nul for alle x eller hvad?

Brugbart svar (0)

Svar #10
07. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#9:
Nej, du er færdig; du har jo netop eftervist, at linjen

l: y = cx - c^2

er en løsningskurve til differentialligningen

(y')^2 - xy' + y = 0

uanset værdien af c. Venstresiden

c^2 - xc + cx - c^2

er klart nul for alle x og ethvert c.

//Epsilon

Svar #11
09. november 2005 af Mads123 (Slettet)

Grunden til jeg ikke har svaret, var at jeg lige ville tjekke jeg ikke kom ind i flere problemer med min blæk. Ellers tak for hjælpen :)

Jeg har dog et lille spørgsmål:
Er det en god ide at lave graffer i sådan nogle differentialligning opgaver?
Synes ikke selv det hjælper på forståelsen, men jeg kan da se at de to ligninger skærer hinanden hvis de er løsning til hinanden.

Brugbart svar (0)

Svar #12
10. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#11:
Grafskitse af løsningskurve samt grafen for den afledede funktion kan være udmærkede at have med til at understøtte besvarelsen. Men hvis ikke man eksplicit bliver bedt om at skitsere grafer, så hold dem på en tilpas lav detaljeringsgrad, så fortrinsvis de væsentligste karakteristika træder frem.

Vær lidt mere præcis med terminologien; ligninger skærer ikke hinanden.

//Epsilon

Skriv et svar til: Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.