Vektorregning

a)
          Bevis at centrums afstand til linjen m er større end radius.

c. Lad Q  betegne det punkt på linien m, som er tættest på cirklen c. Da gælder:

|CQ| = afstanden d bestemt i punkt a.

CQ er vinkelret på liniens retningsvektor r = [-4;3]. Heraf bestemmes Q´s koordinater.

CP = r_c CQ/|CQ|, hvor r_c er cirklens radius, 10, og P er det punkt på cirklen, som er tættest på linien m.

Punktet P er da: OP = OC + CP

d. Forstår ikke din formulering her: "Den mindste afstand fra et punkt på den cirklen som er givet til m"

Kan du præcisere det?

#2

Måske menes der |PQ| = |CQ| - r_c (?)

b)
          Linjen gennem cirkelcentrum vinkelret på linjen m: 3x-4y-487= 0 med hældningstal (3/4),
          har hældningstal -(4/3) og derfor
          ligningen
                              y = -(4/3)(x-5) + 7
                      L:     y = -(4/3)x + (41/3)

b) fortsat
          Linjen gennem cirkelcentrum vinkelret på linjen m: 3x-4y-487= 0 med hældningstal (3/4),
          har hældningstal -(4/3) og derfor
          ligningen
                              y = -(4/3)(x-5) + 7
                      L:     y = -(4/3)x + (41/3)

Da
          m: 3x-4y-487=0    skærer y-aksen i (0,-121.25),
          ligger det søgte punkt P nærmest m på nedre halvcirkel
          med ligningen
                   c_halv^nedre:       y = 7 - √(100 - (x-5)²)

          P bestemmes således som skæringspunktet mellem

                            L  og  c_halv^nedre

                            -(4/3)x_P + (41/3) = 7 - √(100 - (x_P-5)²)

                                    x_P = 11

                                    y_P = -(4/3)•11 + (41/3) = -1

          det søgte punkt P nærmest m på nedre halvcirkel
          er således
                                   P(11,-1)
                      

d)         
          Centrums afstand til m
 

                                                       |3•5-4•7-487|
                           dist(m,C(5,7)) =  ------------------ = 100
                                                        √(3²+(-4)²)    

          Den mindste punktafstand til m fra et punkt P på den givne cirklen
          er
                    a = dist(m,C(5,7)) - r = 100 - 10 = 90

#2

Retningsvektoren er [4;3] og ikke som angivet [-4;3]. Dermed fås:

CQ = [60;-80] og |CQ| = 100.

OP = OC + r_c CQ/|CQ| = [5;7] + 10 [60;-80]/100 = [11;-1].

Er der en som kan forklare A)?

#2
 

c. Lad Q  betegne det punkt på linien m, som er tættest på cirklen c. Da gælder:

|CQ| = afstanden d bestemt i punkt a.

CQ er vinkelret på liniens retningsvektor r = [-4;3]. Heraf bestemmes Q´s koordinater.

CP = r_c CQ/|CQ|, hvor r_c er cirklens radius, 10, og P er det punkt på cirklen, som er tættest på linien m.

Punktet P er da: OP = OC + CP

d. Forstår ikke din formulering her: "Den mindste afstand fra et punkt på den cirklen som er givet til m"

Kan du præcisere det?

d) bestem den mindste afstand fra et punkt på cirklen til m

#9

Vedr. pkt. d). Altså var min formodning i #3 rigtig:

Mindste afstand er da:

|PQ| = |CQ| - r_c = 100 - 10 = 90