Matematik

uendelige rækker hjælp

21. november 2013 af jax1 - Niveau: Universitet/Videregående

hej jeg kan slet ikke finde ud af jeg har prøvet men kan ikke finde ud af hvordan man skal lave det er der nogen som kan forklare mig hvordan for jeg er helt blank, det er opgave 5 i den vedhæftede fil, jeg kan ikke lave nogen af de opgaver :( hjælp

Vedhæftet fil: WP_000841.jpg

Brugbart svar (1)

Svar #1
21. november 2013 af lfdahl (Slettet)

Her er et bud på løsningen til opg. 5.1

Den uendelige række er grænseværdien for en geometrisk sum:

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{\left ( ln(x) \right )^n} = \sum_{n=0}^{\infty}\left ( \frac{1}{ln(x)} \right )^n = \lim_{N\rightarrow \infty } \frac{1 - (\frac{1}{ln(x)})^{N+1}}{1 - (\frac{1}{ln(x)})}$

Konvergenskravet er: |1/ln(x)| < 1, hvor x ∈ R₊\{1}, er opfyldt for mængden C = {0 < x < e^-1} ∪ { x > e}

Brugbart svar (1)

Svar #2
21. november 2013 af lfdahl (Slettet)

Opg. 5.2

for x ∈ C fås konvergens og dermed forskriften:

$f(x) = \lim_{N\rightarrow \infty } \frac{1 - (\frac{1}{ln(x)})^{N+1}}{1 - (\frac{1}{ln(x)})} = \frac{1}{1 - (\frac{1}{ln(x)})} = \frac{ln(x)}{ln(x)-1}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
21. november 2013 af lfdahl (Slettet)

Opg. 5.3

Monotoniforhold for f(x), x ∈ C:

$f'(x) = -\frac{x^{-1}}{(ln(x)-1)^2} < 0$

f(x) er derfor aftagende i hele C.

Brugbart svar (1)

Svar #4
21. november 2013 af lfdahl (Slettet)

Opg. 5.4

$Elasticiteten: El_{x}f(x) = x f'(x)/f(x) = \\ \\ x ( -\frac{x^{-1}}{(ln(x)-1)^2})\frac{(ln(x)-1)}{ln(x)} = -((ln(x)-1)lnx)^{-1}$

Håber, det har hjulpet dig lidt på vej.

Svar #5
21. november 2013 af jax1

hvad med opgave 5.5 ?

Brugbart svar (1)

Svar #6
21. november 2013 af Andersen11 (Slettet)

Rækken

∑^∞_n=0 xⁿ

er konvergent for |x| < 1 med sumfunktion g(x) = 1/(1-x) .

Rækken

∑^∞_n=0 (1/ln(x))ⁿ

er derfor konvergent for |1/ln(x)| < 1 med sumfunktion f(x) = 1/(1-1/ln(x)) = ln(x) / (ln(x) -1) . Den er altså konvergent for

|ln(x)| > 1 , dvs

ln(x) > 1 eller ln(x) < -1 , dvs

x > e eller x < e^-1 .

Rækken

∑^∞_n=1 (1/ln(x))ⁿ

er den oprindelige række minus det første led. Den er derfor konvergent for de samme x som den oprindelige række er konvergent for, og dens sumfunktion er

S(x) = f(x) - 1 = ln(x)/(ln(x)-1) -1 = 1/(ln(x)-1)

Brugbart svar (1)

Svar #7
21. november 2013 af lfdahl (Slettet)

Jeg er ikke helt sikker på det. Benytter D´Alamberts kriterium som følger:

$D´Alemberts \, kriterium: \\ \\ Lad \, \, a_{n} \, \, \, betegne: a_{n}= ln(x)^{-n} \\ Hvis \, \, \,graensevaerdien\, \, \, for \, \, \,kvotienten\, \, \,opfylder: \lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right | = r < 1\\ \\ da \, \, \,konvergerer\, \, \, raekken: \sum_{n=1}^{\infty }\left ( ln(x) \right )^{-n} \\ \\ \lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right | = \lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{(ln(x))^{-(n+1)}}{(ln(x))^{-n}} \right | =\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{1}{ln(x)} \right | < 1$

Uligheden er netop opfyldt for x ∈ C, og dermed er rækken konvergent i hele C.

Brugbart svar (1)

Svar #8
21. november 2013 af lfdahl (Slettet)

Med S(x) som anført i #6 skal du løse: S(x) = 1/2, hvor du får: ln(x) = 3 ⇒ x = e³

Skriv et svar til: uendelige rækker hjælp

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.