Partialbrøk

Benyt, at

1/((A-x)·(B-x)) = (1/(B-A))·(1/(A-x)) + (1/(A-B))·(1/(B-x))

Tak for dit svar, men det skulle gerne give 1/(B-A)·((1/(A-x))-(1/(B-x))). Hvad for en metode benyttes, og hvordan kommer man frem til dette?

Det er jo det samme resultat som i #1. Skift fortegnet på det sidste led og sæt (1/(B-A)) uden for parentes.

Man kan benytte denne metode

1/((A-x)·(B-x)) = k₁·(1/(A-x)) + k₂·(1/(B-x)) ,

hvor man så forlænger brøkerne på højre side, sætter på fælles brøkstreg, og så bestemmer konstanterne k₁ og k₂ så tælleren svarer til tælleren på venstre side.

Er det muligt, at du kan forklare mig metoden? Jeg forstår det ikke helt. Og har metoden et navn? Jeg forstår ikke, hvordan det er forlængning af brøker. Har det noget med faktorisering at gøre?

#4

Man forsøger at skrive 

1/((A-x)·(B-x)) = k₁·(1/(A-x)) + k₂·(1/(B-x))

Forlænger vi brøkerne, får vi

= ( k₁·(B-x) + k₂·(A-x) ) / ((A-x)·(B-x)) = ( k₁B+k₂A - (k₁+k₂)x) / ((A-x)·(B-x)) .

Betingelsen at denne brøk er lig med 1/((A-x)·(B-x)) giver så

k₁B+k₂A = 1   og    k₁+k₂ = 0 , dvs

k₁ = 1/(B-A) og k₂ = 1/(A-B)

Tusind tak for dit svar. Men jeg har lige et par spørgsmål mere. Hvordan kan du sætte et plus i først led, når der står (A-x)·(B-x) i nævneren? Er det ikke k₁B+k₂A-(k₁+k₂)x=1? Og er det muligt, at du kan forklare, hvordan man kommer, fra det du har skrevet, til det udtryk jeg ønsker i svar 2.

#6

Jeg forstår ikke dit spm.

Den første brøk k₁/(A-x) for længes med (B-x) til k₁·(B-x)/((A-x)(B-x)), og den anden brøk k₂/(B-x) forlænges med (A-x) til k₂(A-x)/((A-x)(B-x)), hvorefter der sættes på fælles brøkstreg til

(k₁(B-x) + k₂(A-x)) / ((A-x)(B-x)) = ((k₁B + k₂A) - (k₁+k₂)x) / ((A-x)(B-x)) 

der skal være lig med 1 / ((A-x)(B-x)) .

Man finder så, at k₁ = 1/(B-A) og k₂ = 1/(A-B) , hvorfor

1/((A-x)(B-x)) = (1/(B-A))·(1/(A-x)) + (1/(A-B))·(1/(B-x)) = (1/(B-A))·((1/(A-x) - 1/(B-x))

Du bør kunne se, at 1/(B-A) = -1/(A-B) .

Hvad er grunden til, at man ganger konstanterne k₁ og k₂ på udtrykket? Og hvorfor gør man det helt præcist?

Og hvordan kan du ud fra k₁B+k₂A=1 komme frem til at k₁=1/(B-A) og det samme for k₂?

#8

Genlæs #5. Man forsøger at skrive 1/((A-x)·(B-x))  på formen k₁·(1/(A-x)) + k₂·(1/(B-x)) .ved at forlænge de to brøker og sætte på fælles brøkstreg, når man frem til, at der skal gælde

(k₁B + k₂A) - (k₁+k₂)x = 1

opfyldt identisk for alle x. Deraf får man så, at

k₁B + k₂A = 1 og k₁+k₂ = 0 ,

og man løser så det ligningssystem med 2 ligninger og 2 ubekendte.

Prøv at læse forklaringerne givet ovenfor og gå dem omhyggeligt igennem.

Tak for din hjælp, men jeg har endnu et spørgsmål, jeg håber, du vil se på:

Løsningen til Int(((1/(A-x))-(1/(B-x))) med indsættelse af grænserne x og 0 får jeg til at give ln(B-x)-ln(b)+ln(A)-ln(A-x), men jeg mangler et minus foran ln(B-x), da det gerne skulle give ln(A/(A-x))-ln(B/(B-x)). Er det muligt, at du kan forklare mig mellemregningerne?

#11

Dit udtryk er jo det samme som facitlistens, da ln(B-x) - ln(B) = -( ln(B) - ln(B-x)) = -ln(B/(B-x)) . Benyt de kendte regneregler for logaritmer.