optimering

Nej, det er ikke rigtigt. Det er oplyst, at

h + r = 5 ,

dvs h = 5 - r.

Derfor er beholderens rumfang

V = (1/2)·(4π/3)·r³ + π·r²·h = (2π/3)·r³ + π·r²·(5 - r) = 5πr² - (π/3)·r³

#1

jeg forstår ikke din udregningsmetode, da du ikke divider med 2 ved kuglens formel og får det til 2pi/3. 

Du får ikke et tal, men derimod en formel, hvor vi ikke ved hvad r er. 

Kan du forklare det dybere

#2

Bidraget til det samlede rumfang fra halvkuglen er da netop (1/2)·(4π/3)·r³ .

I #1 efterviste jeg udtrykket for V , som man skal gøre rede for i opgaven.

Hvis man kender h, kender man også r, da r+h = 5 dm .

I opgavens første spm er h = 2, hvorfor r = 3, og man kan så beregne beholderens rumfang.

Til sidst skal man finde maksimum for funktionen V(r) .

#3

(2π/3)·r3 + π·r2·(5 - r) = 5πr2 - (π/3)·r3

Jeg får det ikke til det, men 5πr2 - (π*r3)/3

Hvad kan det skyldes

#4

Det er jo det samme udtryk.

 5πr² - (π/3)·r³ =  5πr² - π·r³/3 .

#5

er det lige meget om 3 er inde i parentes. i dit udtryk står r3 udenfor parentes, men i mit udtryk står r3 i tæller med pi 

#5

Det er jo ligegyldigt, i hvilken rækkefølge man angiver faktorerne i et produkt.

#7

Jeg får rumfanget til at være 113,1. kan det passe.

For at finde maksimum finder jeg den afledet funktion -3.14*r^2+31.42 r. Men når jeg skal beregne V'(r) = 0 vil geogebra ikke beregne det

#8

Ja, det er det korrekte rumfang for h = 2.

Til sidst skal man løse ligningen V'(r) = 0 , dvs ligningen

10πr - πr² = 0 .

Det behøver man da ikke regnemaskine for at løse. Faktoriser og benyt nulreglen:

r·(10 - r) = 0

Benyt, at 0 < r ≤ 3 , og find så maksimum for V(r) på dette interval.

#9

Jef får r til at være 0 og 10 

#10

Ja, det er korrekt. Man skal finde maksimum på intervallet ]0;3] .

#11

Tusind tak for hjælpen.

Jeg er lidt usikker med intervallet. Betyder det at r kan være større end 0 men mindre eller lig med 3. Men de r-værdier jeg får er jo 0 og 10, hvilket ikke ligger i intervallet. 

Her er grafen

#12

Man har

V(r) = 5πr² - (π/3)·r³

og dermed

V '(r) = 10πr - πr² = πr·(10 - r) .

Da grafem for V '(r) er en parabel med toppunkt i r = 5 or rødder i r = 0 og r = 10, er V '(r) > 0 på hele intervallet ]0;3] , og V(r) er derfor strengt voksende på intervallet ]0;3] . Funktionen V(r) antager derfor sit maksimum på intervallet ]0;3] for r = 3 . Dette fremgår også tydeligt af den vedhftede graf i #13.