Nyttemaksimering

Du må have regnet forkert. Skriv dine beregninger ned, så vi kan rette dem. Uden nyttefunktionerne er det desuden umuligt for andre at udregne de korrekte resultater.

Matematikeren hed Lagrange.

Okay - det er i en bytteøkonomi, men her kommer udregningerne:

prisen på vare 1 er 2  og prisen på vare 2 er 4

Inkomsten:
A: M=6 * 2 + 4 * 4 = 28,  B: M = 3 * 2 + 3 * 4= 15

I optimum fås MRS = x₁ /x₂ = p1/p2, 
så i forbruger As tilfælde fås: X₂ = 2/4 X₁  hvilket jeg indsætter i   2*X₁+ 4*X₂ = 28 =>  2*X₁ + 4*(2/4)X₁ = 28

<=> 4X₁= 28 <=> X₁= 28/4 = 7 og X₂ = (2/4) * 7 = 4

Forbruger B i optimum:

2*X₁+4*(2/4)X₁= 15

<=> 4X₁  = 15 <=> X₁ = 4 og X₂ = (2/4) * 4 = 2

 

 

nyttefunktionerne er:

For A: U_A(X¹_A,, X_B²) = X¹_A* X²_A

 For B: U_B(X¹_B,X²_B) = (X¹_B) * (X²_B)²

Men nu tænker jeg self på, at MRS = MU₁/MU₂ hvilket ikke er lig X₁/X₂ , :S men er det ellers den rette tilgang?

Det er selvfølgelig fordi jeg har rodet helt rundt i det hele, det er ikke Lagrange jeg er igang med. Jeg forsøger lige at løse den igen

Nu har jeg prøvet med Lagrange metoden, og det virker også til at være forkert... :S Forstår ikke hvordan jeg skal finde det mest optimale for begge forbruger i en bytteøkonomi? :S

Dine priser skaber ikke en ligevægt. Prøv at udregne det hele med p₂ som numeraire:

Find Walras-ligevægten, dvs. x_A*(p,w)=(x_A1*,x_A2*) og x_B*(p,w)=(x_B1*,x_B2*), så

x_A1*+x_B1*=w_A1+w_B1

x_A2*+x_B2*=w_A2+w_B2,

hvor x_A*(p,w) og x_B*(p,w) er den optimale efterspørgsel givet prissystemet p₁.

Individ A:

MRS₁₂=p₁ <=> x_A2*/x_A1*=p₁<=> x_A2*=p₁x_A1*,

som indsættes i budgetbetingelsen, så

p₁x_A1+x_A2=p₁w_A1+w_A2 => p₁x_A1*+p₁x_A1*=p₁w_A1+w_A2 <=> 2p₁x_A1*=p₁w_A1+w_A2 <=>

x_A1*=(1/2)(p₁w_A1+w_A2)/p₁

x_A2*=(1/2)*(p₁w_A1+w_A2),

hvor x_A2* følger direkte ved indsættelse. x_A1* og x_A2* er efterspørgselsfunktionerne, der optimerer individ A's nytte givet p₁. 

For øvelsens skyld, regn nu selv ud for individ B. Du skal gerne få

x_B1*=(1/3)(p₁w_B1+w_B2)/p₁

x_B2*=(2/3)*(p₁w_B1+w_B2).

Indsæt da i

p₁x_A1*+p₁x_B1*=p₁w_A1+p₁w_B1 <=>

p₁(1/2)(p₁w_A1+w_A2)/p₁+p₁(1/3)(p₁w_B1+w_B2)/p₁=p₁w_A1+p₁w_B1 <=>

(1/2)(p₁w_A1+w_A2)+(1/3)(p₁w_B1+w_B2)=p₁w_A1+p₁w_B1 <=>

(1/2)p₁w_A1+(1/2)w_A2+(1/3)p₁w_B1+(1/3)w_B2=p₁w_A1+p₁w_B1 <=>

p₁=[(1/2)w_A2+(1/3)w_B2]/[(1/2)w_A1+(2/3)w_B1],

hvilket med tal indsat er

p₁=[(1/2)*4+(1/3)*3]/[(1/2)*6+(2/3)*3]=[2+1]/[3+2]=3/5.

Dermed fås 

x_A1*=(1/2)(p₁w_A1+w_A2)/p₁=(1/2)((3/5)*6+4)/(3/5)=6,33

x_A2*=(1/2)*(p₁w_A1+w_A2)=(1/2)((3/5)*6+4)=12/10+2=3.8

x_B1*=(1/3)(p₁w_B1+w_B2)/p₁=(1/3)((3/5)*3+3)/(3/5)=2.66

x_B2*=(2/3)*(p₁w_B1+w_B2)=(2/3)*((3/5)*3+3)=3.2

Da det skal være en mulig økonomisk tilstand, tjekker vi, at efterspørgslen svarer til udbuddet

x_A1*+x_B1*=6.33+2.66=9

x_A2*+x_B2*=3.8+3.2=7

Rettelse: Det havde nok været mere elegant at skrive:

Udregn da

(1/2)(p₁w_A1+w_A2)/p₁+(1/3)(p₁w_B1+w_B2)/p₁=w_A1+w_B1 <=>

(1/2)w_A2/p₁+(1/3)*w_B2p₁=(1/2)w_A1+(2/3)w_B1

p₁=[(1/2)w_A2+(1/3)w_B2]/[(1/2)w_A1+(2/3)w_B1],

hvilket med tal indsat er

p₁=[(1/2)*4+(1/3)*3]/[(1/2)*6+(2/3)*3]=[2+1]/[3+2]=3/5.

i stedet for "Indsæt da i....."

Okay, jeg har regnet på det og fået Forbruger A køber: (1/2) * (28/2) = 7 enheder af vare 1 og (1/2)*(28/4)=3,5 enheder af vare 2

og Forbruger B køber (1/3)*(18/2) = 3 enheder af vare 1 og (2/3)*(18/4)=3 enheder af vare 2.

Men jeg forstår ikke helt det sidste led, altså hvorfor man skal gøre det.:

xA1*=(1/2)(p1wA1+wA2)/p1=(1/2)((3/5)*6+4)/(3/5)=6,33

xA2*=(1/2)*(p1wA1+wA2)=(1/2)((3/5)*6+4)=12/10+2=3.8

xB1*=(1/3)(p1wB1+wB2)/p1=(1/3)((3/5)*3+3)/(3/5)=2.66

xB2*=(2/3)*(p1wB1+wB2)=(2/3)*((3/5)*3+3)=3.2

Fra hvor du skriver "indsæt da" , er det ikke (7;3,5) og (3,3) der er det optimale for forbruger A og B ?

Se lige rettelsen om "indsæt da".

Problemet er, at priserne p₁=2 og p=4 ikke skaber en ligevægt. Ved de priser vil forbrugerne ganske rigtigt ønske at forbruge (7;3.5) og (3,3), men udbuddet er kun (9;7). Det er ikke en mulig økonomisk tilstand. Priserne er ikke ligevægtspriser. Den relative pris p₁/p₂=2/4=1/2 bliver nødt til at stige, før udbud og efterspørgsel clearer markederne.

Nå okay! Nu er jeg helt med

Var priserne opgivet i opgaven?