Egenværdiproblem

Hvis λ = 0 skal være en egenværdi, skal X(x) være en løsning til differentialligningen

X'' = 0 , dvs

X(x) = ax + b .

Her er X(0) = b , X'(0) = a, X(1) = a+b , og X'(1) = a.

Hvis randværdierne skal være opfyldt, skal der gælde

c₁·b + a = 0 , og d₁·(a+b) + a = 0

Du siger X(x) skal være en løsning til differentialligningen X''=0

er din X(x) den samme X(x) som du skriver på linje 3?

nååårh du har bare sat lambda =0  ind .. 

#3

Ja, hvis λ = 0 , reduceres differentialligningen til X'' = 0 .

hvor kommer X(x)=ax+b fra?

er det fordi ax+b differentieret to gange giver 0?

Men når vi så har 

c1·b + a = 0 , og d1·(a+b) + a = 0

så kan c1 og d1 jo ikke være 0. så det er enten a eller b, eller begge. Men hvordan viser jeg det?

kan jeg sige, at jeg isolerer b i c1·b + a = 0, og får b=-a/c1

det sætter jeg så ind i  d1·(a+b) + a = 0 og får  d1·(a-a/c1) + a = 0

her skal a være 0 hvis betingelsen skal opfyldes. 

#6

Ja.

#7

Af

c₁·b + a = 0 , og d₁·(a+b) + a = 0

får man så

c₁ = -a/b og d₁ = -a/(a+b)

og dermed

-c₁ + d₁ = (a/b) - a/(a+b) = (a² +ab-ab)/(b(a+b)) = a²/(b(a+b)) = c₁·d₁ .

Det er oplyst, at c₁ ≠ 0 og d₁ ≠ 0 .

fint. med hensyn til spørgsmål b, er det så meningen at jeg skal prøve at sætte et tal ind randbetingelserne, eller skal jeg løse ligningen med lambda =0?

?

#9

Man skal finde et sæt af værdier (c₁,d₁) for hvilket problemet (1) kun har løsninger for λ > 0 .

Hvis λ < 0 er den fuldstændige løsning til differentialligningen X(x) = c·e^(√(-λ))x + d·e^-(√(-λ))x .

Hvis λ > 0 er den fuldstændige løsning til differentialligningen X(x) = c·cos((√λ)x) + d·sin((√λ)x) .

Prøv ved at arbejde med randbetingelserne at bestemme et sæt (c₁,d₁) så der ikke er nogen løsning for λ < 0 .