Vektorregning - linies parameterfremstilling

(1) :    
         I:  x = -2 + 4t              I  multipliceres med 3 og kaldes III
        II:  y = 5 - 6t                II multipliceres med 2 og kaldes IV

       III:  3x = -6 + 12t 
       IV:  2y = 10 - 12t          III og IV adderes

           3x + 2y - 4 = 0
                   

(2) :    
         I:  x = -14 - 2s            I  multipliceres med 3 og kaldes III
        II:  y = 23 + 3s            II multipliceres med 2 og kaldes IV

       III:  3x = -42 - 6s
       IV:  2y = 46 + 6s          III og IV adderes

           3x + 2y - 4 = 0
          
   dvs
           én og samme rette linje.

Vis først, at de to retningsvektorer r₁ = [4;-6] og r₂ = [-2;3] er parallelle:

det(r₁,r₂) = 4·3 - (-6)·(-2) = 0 (dvs. vektorerne er parallelle).

Vis dernæst, at det faste punkt P₂(-14,23) på linien (2) også ligger på linien (1), for eksempel ved at vise, at vektoren P₁P₂ = [-14;23] - [-2;5] = [-12;18] også er parallel med liniernes retningsvektor.

Da P₁P₂ = 6·r₂ , er dette tilfældet. Dermed er vist, at de to linier er sammenfaldende.

b) Ved at undersøge, om vektorne P₁C og P₁D er parallelle med liniens retningsvektor, undersøger man, om punkterne C og D ligger på linien.

alternativt:

        (1)'s retningsvektor
                                             r₁ = [4,-6] = -2·[-2,3] = -2·r₂    hvor r₂ er (2)'s retningsvektor

                                lineært afhængige vektorer er parallelle.

        Hvis (-2,5) ligger på (2), er linjerne sammenfaldende.

        Det undersøges, om (-2,5) ligger på (2):
 
                                -2 = -14 - 2s
                                1 = 7 + s
                                 -6 = s

.
                                5 = 23 + 3s
                                -18 = 3s
                                 -6 = s                 for samme s-værdi,

       hvorfor (-2,5) altså ligger på (2):
       (1) og (2) er derfor sammenfaldende dvs én og samme rette linje.

.Hvad er det jeg skal gøre med hensyn til b)?

b)

     da (1) og (2) er én og samme linje, benyttes den nemmeste parameterfremstilling:
     som vel er
                         (x,y) = (-2,5) + t·(4,-6)

     opfylder
                         (2,-1) = (-2,5) + t·(4,-6)   ?      

     opfylder
                         (14,-16) = (-2,5) + t·(4,-6) ?     
                  

eller
      opfylder C(2,-1)
                                        3·x + 2y - 4 = 0 ?

      opfylder D(14,-16)
                                        3·x + 2y - 4 = 0 ?

ah, tak for hjælpen :D