Hjælp til differentialligninger.

Differentier den givne funktion og indsæt forskriften for y'(t) og y(t) i differentialligningens venstre side. Benyt så en velkendt formel for sin() og cos() til at vise, at venstresiden er lig med højresiden.

Prøv derefter at indsætte en konstant funktion y(t) = c i differentialligningen. Løs den fremkomne ligning i c.

Hvad er det for en velkendt formel der er tale om?
Når du siger indsæt en konstant funktion skal jeg så gøre det præcis som du skrev og så isolere c, eller selv angive c?
Mange tak for det hurtige svar.

#2

Den velkendte formel er    cos²(x) + sin²(x) = 1 (Pythagoras).

Differentierer man en konstant funktion, er resultatat 0. Indsætter man en konstant funktion c i differentialligningen, får man derfor

c² = 1 .

Dvs for visse værdier af c er y(t) = c en løsning til differentialligningen. Bestem nu disse værdier af c ved at løse ligningen i c.

Kan ikke helt se sammenhængen i at bruge pythagoras, med mindre det er for at få sin/cos til at gå ud med hinanden kunne du eventuelt forklare yderligere?
Mange tak

#4

Man skal vise, at funktionen y(t) = sin(t-t₀) er en løsning. Differentierer man funktionen, har man

y'(t) = cos(t-t₀)  .

Indsætter man det sammen med forskriften for y(t) i venstresiden af differentialligningen, har man

cos²(t-t₀) + sin²(t-t₀)

og her er det, at man så skal nikke genkendende til dette udtryk og umiddelbart indse, at det er lig med 1, hvorfor den viste funktion tilfredsstiller differentialligningen.

Nåååårh! Haha mange tak! Nu giver det mening.

#3

Jeg skal lige have dette genopfrisket. Der står i opgaven at jeg skal finde ud af om der findes konstantløsninger af formen y(t)=c.

dvs: sin(t-t0)=c

Hvodan finder jeg så ud af om der er konstantløsninger? Hvis jeg udregner c finder jeg den fuldstændige løsning, men det er vel ikke det de er ude efter? 

#7

Spørgsmålet om en konstant løsning er gennemgået for dig i #3. En konstant løsning har formen

        y(t) = c .

Der skal ikke blandes sin(t-t₀) ind i det, når man undersøger, om en konstant funktion kan være en løsning.

Jeg forstår ikke helt gennemgangen af det. Det som du differentierer i #3 er selve differentialligningen, men hvorfor gør du dette når man skal undersøge y(t)=c og ikke (y'(t)2+(y(t))2=c. Og er svaret så c²=1 ud fra dette? 

#9

Man skal undersøge, om en funktion af formen y(t) = c er en løsning i differentialligningen

        (y'(t))² + (y(t))² = 1 .

Det gøres ved at indsætte løsningen i differentialligningen. For en løsning af formen y(t) = c, er y'(t) = 0, og venstresiden af differentialligningen er da

        0² + c² = c² .

Man slutter da heraf, at en funktion af formen y(t) = c er en løsning til differentialligningen, hvis

        c² = 1 .

Aah så forstår jeg. Det er fordi jeg forvirrer c med konstanten fra den generelle løsning i stedet for at være en funktion. Mange tak for din hjælp!