Matematik

Infinitesimalregning

22. november 2005 af KickAzz (Slettet)

Hej,

Jeg har i gang med en matematikaflevering, men er imidlertid stødt ind i lidt "forståelsesvanskeligheder".

Opgaven lyder:

"En familie af funktioner er givet ved

f_c(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + c

Bestem f_c'(x):

f_c'(x) = (d)/(dx) * (x^3 - 3x^2 - 9x + c) = 3x^2 - 6x + 9

Dette burde være korrekt.

Problemet kommer dog her:

"Bestem monotoniintervallerne for f_c, og bestem for hvert af de lokale ekstremumssteder funktionsværdien udtrykt ved c:

Her er jeg ikke helt med. Jeg finder ekstremumsstederne ved at sætte f_c'(x) = 0. Når jeg så skal bestemme lokalt min (funktionsværdien), så sætter jeg den fundne x-værdi ind i f_c(x), men hvad skal jeg gøre med c?

Håber I forstår!

Mvh
Peter

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. november 2005 af Waterhouse (Slettet)

Du har en enkelt fortegnsfejl i f_c'(x) - det bliver 3x^2 - 6x + 9.

Sætter vi f_c'(x)=0 og løser, får vi at x=-1 v x=3. Vi kan se at denne værdi ikke afhænger af c - ligegyldigt hvad c er, vil funktionen have lokale ekstrema i -1 og 3.

Hvis vi så sætter -1 i f_c:

(-1)^3-3*(-1)^2-9*(-1)+c =
-1-3+9+c =
5+c

Altså er f_c(-1) = 5+c

...og det var det vi skulle frem til. Prøv selv med 3.

Svar #2
22. november 2005 af KickAzz (Slettet)

Nå, det var da meget enkelt :)

Jeg er dog ikke med på hvorfor der er en fortegnsfejl?

når f_c(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + c
giver f'_c(x) da 3x^2 - 6x - 9

og ikke + 9?!?

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. november 2005 af Epsilon (Slettet)

I laver den samme fortegnsfejl i f_c'. Vi har

f_c'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x+1)(x-3).

Peter, konstanten c skal du ganske enkelt lade stå. Der spørges:

"(...) og bestem for hvert af de lokale ekstremumssteder funktionsværdien udtrykt ved c."

Eksempelvis er f_c(-1) = 5 + c en lokal ekstremumsværdi udtrykt ved c.

//Epsilon

Svar #4
22. november 2005 af KickAzz (Slettet)

Den fortegnsfejl I snakkede om forvirrede mig lidt, men kan se, at det bare var en lille tastefejl. Tak for vejledningen :)

Svar #5
22. november 2005 af KickAzz (Slettet)

Den sidste opgave driller mig lidt:

Bestem de værdier af c, for hvilke ligningen f_c(x) = 0 har en løsning i intervallet [-1 ; 3].

Hvordan skal jeg gribe opgaven an?

Mvh
Peter

Svar #6
23. november 2005 af KickAzz (Slettet)

Ingen der kan hjælpe? Eller er I alle gået i seng? :)

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#5:
To forhold er væsentlige:

(1) f_c er kontinuert
(2) fortegnsvariationen for f i [-1;3].

Det skal _udtrykkeligt_ fremhæves, at kontinuiteten af f er helt essentiel. Specielt bør I være bekendt med, at polynomier er kontinuerte, og f_c er jo netop et sådant.

Mellemværdisætningen for kontinuerte funktioner udsiger, at hvis funktionen f: [a,b] -> R er kontinuert, og d er et reelt tal mellem f(a) og f(b);

f(a) < d < f(b),

så findes et c E ]a;b[ således, at f(c) = d.

Udnyt dette med f_c.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#7:
Antagelsen, at d ligger mellem f(a) og f(b), betyder naturligvis, at der gælder enten

f(a) < d < f(b) eller f(a) > d > f(b).

//Epsilon

Svar #9
23. november 2005 af KickAzz (Slettet)

Jeg er ikke rigtig med på hvordan det skal bestemmes. Ved at indtaste forskellige værdier, får jeg c til at skulle være
[-5 ; 27]

Hvilket er henholdsvis minimum og maksimum med omvendt fortegn, men hvorfor gør det sig gældende?

Svar #10
23. november 2005 af KickAzz (Slettet)

Jeg har desuden også et spørgsmål til denne opgave:

Tegningen viser en skitse af indlandsisen i Grønland i et område, hvor isens tykkelse er 3005 meter.

Tegning:
http://www.yuhuu.dk/is-a.jpg

Ved hjælp af nedenstående model er det muligt at bestemme indlandsisens alder i forskellige dybder. Isens alder f(x), målt i år, som funktion af dybden x, målt i meter, er i modellen bestemt ved:
f(x) = 109400-13660 * ln(3005 - x) , x E (element i) [1300 ; 1700]

Hvilken alder har isen i 1600 meters dybde?
Bestemt til lige knap 10.400 år

I hvilken dybde har isen en alder på 8000 år?
I ca. 1330 meters dybde

Bestem f'(x):
Bestemt til f'(x) = (13660)/(3005-x)

Ovenstående resultater burde være korrekte (derfor har jeg ikke vist udregningerne). Problemet kommer nu:

Bestem f'(1350) og f'(1650), og gør rede for betydningen af disse tal:

f'(1350) = 8,25
f'(1650) = 10,08

Dette burde også være korrekt. Men hvordan skal jeg gøre rede for betydningen af disse tal?

De viser vel, at isens alder i 1350 meters dybde steg med 8,25 år pr. meter, mens isens alder i 1650 meters dybde steg med 10,08 år pr. meter?!?

Hvad menes der helt specifikt med "gør rede for.." ?? For ovenstående er vel bare en forklaring af differentialkvotienten?

Håber I kan hjælpe!

Mvh
Peter

Brugbart svar (0)

Svar #11
23. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#9:
Af monotoniforholdene indser man, at f_c har lokalt maksimum for x = -1 og lokalt minimum for x = 3, med

f_c(-1) = 5 + c
f_c(3) = c - 27.

Vi kan således slutte, at f_c har et nulpunkt i [-1;3], hviss (hvis og kun hvis)

c E [-5;27],

thi c = -5 hhv. c = 27 svarer til nulpunkterne -1 og 3 (intervalendepunkterne), og i det åbne interval ]-5;27[ følger det af Mellemværdisætningen, idet f er kontinuert, og

f(-1) > 0 > f(3),

at der findes et x' E ]-1;3[ således, at f_c(x') = 0.

//Epsilon

Svar #12
23. november 2005 af KickAzz (Slettet)

Jeg er med så langt som til, at du får c E [-5;27].

Men jeg forstår ikke hvorfor du derefter finder frem til x' E ]-1;3[

Vi skulle da blot: "Bestem de værdier af c, for hvilke ligningen f_c(x) = 0 har en løsning i intervallet [-1 ; 3]."

??

Brugbart svar (0)

Svar #13
23. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#10:
Resultaterne er korrekte, og det er redegørelsen for så vidt også.

Ved inspektion af forskriften for f' indser man, at indlandsisens alderstilvækst per dybdeenhed vokser (inden for modellens gyldighedsområde). Med andre ord blev der afsat mest is i den tidlige fase (ca. 8000 år siden) og mindst i den sene fase (for 11000 år siden). Det er nok alt for dristigt at tyde dette forhold som tegn på en mindre istid for ca. 8000 år siden; bekræftelse eller afkræftelse af denne påstand forudsætter i hvert fald et grundigere kendskab til datamateriale fra fx iskerneboringer. Men på den anden side ligger dette også langt hinsides den stillede opgave.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #14
23. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#12:
Sandt nok, men det skader ikke at argumentere derfor.

Funktionen f_c er garanteret at have et nulpunkt i [-1;3], såfremt enten f_c(-1) = 0 (c = -5), f_c(3) = 0 (c = 27) eller, ifølge Mellemværdisætningen, hvis f_c(-1) og f_c(3) har modsat fortegn, thi f_c er kontinuert i [-1;3]. Sidstnævnte forhold svarer netop til, at c E ]-5;27[. Altså kan vi hermed konkludere, at

"Der findes et x' E [-1;3] således, at f_c(x') = 0, dvs. et nulpunkt x', hvis og kun hvis c E [-5;27]."

//Epsilon

Svar #15
23. november 2005 af KickAzz (Slettet)

Ok, nu er jeg med. Tak for hjælpen. Jeg har lige et sidste spørgsmål. Det er en del af en opgave, men det er kun isoleringen jeg er i tvivl om:

Løs ligningen:

2^x + 2^x * x * ln (2) = x * 2^x

Ved brug af grafregnerens solver-funktion har jeg bestemt x til 3,25889.., men jeg vil MEGET gerne se hvorledes x isoleres i ovenstående ligning.

Mvh
Peter

Brugbart svar (0)

Svar #16
23. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#15:
Skriv hellere opgaveteksten til omtalte opgave; i fald du skulle have lavet en fejl for at komme frem til ovenstående, har jeg ellers ingen mulighed for at opdage det.

//Epsilon

Svar #17
23. november 2005 af KickAzz (Slettet)

Okay. Opgaveteksten lyder:

"En funktion f er bestemt ved
f(x) = x * 2^x"

Løs ved beregning hver af ligningerne:
1) f'(x) = 0:
Først differentieres f:
Jeg får f'(x) = 2^x + 2^x * x * ln 2

Nu løses ligningen:

0 = 2^x + 2^x * x * ln 2 <=> - 2^x = 2^x * x * ln 2 <=> x = (-2^x) / (2^x * ln 2) = (-1)/(ln 2)

2) f'(x) = f(x):
Det er denne, der er problemet.
f'(x) = f(x) <=> 2^x + 2^x * x * ln 2 = x * 2^x

Derfra kan jeg ikke få isoleret x uden brug af solver-funktion.

Brugbart svar (0)

Svar #18
23. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#17:
I begge tilfælde er den letteste vej til at løse ligningerne at faktorisere eksponentialfaktoren 2^x uden for en parentes og dernæst multiplicere ligningen igennem med 1/(2^x), som jo er strengt positiv for alle x.

ad 1)
Vi har således, idet

f'(x) = 2^x(1 + ln(2)x),

at

f'(x) = 0 <=>
2^x(1 + ln(2)x) = 0 <=>
1 + ln(2)x = 0 <=>
x = -1/ln(2)

ad 2)
Benyttes samme metode, finder man, at

f'(x) = f(x) <=>
2^x(1 + ln(2)x) = x * 2^x <=>
1 + ln(2)x = x

Herfra skulle du være i stand til at løse ligningen uden større besvær.

//Epsilon

Skriv et svar til: Infinitesimalregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.