Matematik

Mat-opg

23. november 2005 af viggojensens (Slettet)

En virksomhed fremstiller en vare. Omkostningerne 0(x) ved fremstilling af x tons pr. uge af denne vare er givet ved:

O(x)=x^3-30x^2+500x+30

hvor 0(x) er udtrykt i en møtenhed, som er underordnet i denne forbindelse. Gør rede for, at omkostningerne er en voksende funktion af den producerede varemængde. Den producerede varemængde kan sælges til en fast pris på 308 pr.ton. Bestem det antal tons, som virksomheden skal fremstille pr. uge, hvis fortjenesten skal være maksimal...
Hvordan løser jeg denne opgave?

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. november 2005 af Epsilon (Slettet)

Overvej, hvad der skal gælde om den afledede funktion, O', for at funktionen O er voksende.

Fortjenesten (F) må ækvivalere salgsindtægter (S) fraregnet omkostninger (O); formelt

F(x) = (S-O)(x)

Maksimering af F er en sædvanlig optimeringsopgave.

//Epsilon

Svar #2
23. november 2005 af viggojensens (Slettet)

Well... til første spørgsmål.... er det noget med at monotonilinien skal være positiv hele vejen igennem?

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#2:
Ja, mere præcist må O' afkræves at være positiv overalt;

O'(x) > 0 (*)

for ethvert x. Og da O' blot er et andengradspolynomium, burde det ikke volde besvær at argumentere for (*).

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. november 2005 af Epsilon (Slettet)

Strengt taget er det tilstrækkeligt, at

O'(x) >= 0.

//Epsilon

Svar #5
23. november 2005 af viggojensens (Slettet)

Hmm... hvordan kan det være min diskriminant bliver nagativ?..
Jeg differentierer til:
0`(x)=3x^2+60x+500
dvs.
d=60^2-4*3*500
d=-2400???

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#5:
Det er skam korrekt, og eftersom koefficienten til x^2 er positiv (3 > 0), kan vi hermed slutte, at

O'(x) > 0

for alle x. Altså netop det ønskede.

//Epsilon

Svar #7
23. november 2005 af viggojensens (Slettet)

okay så..
Men jeg skal jo stadig bruge en positiv diskriminant til udregning af lokal maksimum (spørgsmål 2)..

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#7:
Sagen stiller sig lidt anderledes an i det andet spørgsmål. Læs #1 igen og brug oplysningerne i opgaveteksten.

//Epsilon

Svar #9
23. november 2005 af viggojensens (Slettet)

ok... I formlen f(x)=(S-O)x må S=308 og 0 den differentierede førstefunktion.... rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #10
23. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#9:
Ikke helt. O er naturligvis den i forvejen omtalte funktion; men S er defineret som salgsindtægterne ved salg af x tons af varen. Da hvert ton sælges til en fast pris på 308, må vi have

S(x) = 308x.

Bemærk: '(S-O)(x)' er per definition funktionen, hvis værdi i ethvert punkt er differencen mellem S(x) og O(x);

(S-O)(x) = S(x) - O(x).

//Epsilon

Svar #11
24. november 2005 af viggojensens (Slettet)

Yesh... Men skal jeg indaætte o`(x) eller o(x) i den nye funktion?...
Gætter selv på at jeg skal indsætte o´(x), så vores nye funktion bliver:
f(x)=-3x^2+248x+500

Svar #12
24. november 2005 af viggojensens (Slettet)

næh... det må sku være O(x) der indsættes... så trækkes S(x) fra og derefter differentieres funktionen!!....

Svar #13
24. november 2005 af viggojensens (Slettet)

Gætter på at #12 er rigtigt?..

Brugbart svar (0)

Svar #14
24. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#13:
Omvendt rækkefølge. Funktionen F, som beskriver fortjenesten ved salg af x tons af varen, er

F(x) = (S-O)(x) = S(x) - O(x),

og det er denne funktion, der skal differentieres med henblik på at bestemme x, så fortjenesten er maksimal.

//Epsilon

Skriv et svar til: Mat-opg

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.